Вычислить , где - первая (от начала координат) арка циклоиды .

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислить , где - первая (от начала координат) арка циклоиды .

Условие:

Вычислить $\int_{L}(2 a-y) d x-(a-y) d y$ , где $L$ - первая (от начала координат) арка циклоиды $\left{

\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}

Решение:

Для вычисления интеграла $\int_{L}(2 a-y) d x-(a-y) d y$ по арке циклоиды, заданной параметрически как $\left{

\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}

Шаг 1: Найдем производные $dx$ и $dy$

Сначала найдем производные $dx$ и $dy$ по параметру $t$ :

dx = \frac{dx}{dt} dt = \left(a(1 - \cos t)\right) dt

dy = \frac{dy}{dt} dt = a \sin t \, dt

Шаг 2: Подставим $x$ и $y$ в интеграл

Теперь подставим $x$ и $y$ в интеграл:

2a - y = 2a - a(1 - \cos t) = a(1 + \cos t)

Шаг 3: Подставим $dx$ и $dy$ в интеграл

Теперь подставим $dx$ и $dy$ в интеграл:

\int_{L}(2 a-y) d x-(a-y) d y = \int_{t_0}^{t_1} \left( a(1 + \cos t) \cdot a(1 - \cos t) - (a - a(1 - \cos t)) \cdot a \sin t \right) dt

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении криволинейного интеграла второго рода по параметрически заданной кривой, какой шаг является первым и наиболее важным для корректного преобразования интеграла?

Определение пределов интегрирования для параметра.

Вычисление дифференциалов dx и dy через параметр.

Подстановка выражений для x и y в подынтегральную функцию.