![4.181. ( int_{0}^{1} rac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}} d x quad(-1< ) ( <p<2 )).x - комплексная переменная. Указание. Доказать, что[ lim {R ightarrow infty} int{C_{R}} rac{z^{1-p}(1-z)^{p}}{1+z^{2}} d z=2 pi i e^{-p pi i} ] где ( C_{R} ) - обходимая в](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
4.181. $\int_{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}} d x \quad(-1<$ lt;p<2$).x - комплексная переменная. Указание. Доказать, что$
\lim {R \rightarrow \infty} \int{C_{R}} \frac{z^{1-p}(1-z)^{p}}{1+z^{2}} d z=2 \pi i e^{-p \pi i}
$
где $C_{R}$ - обходимая в положительном направлении окружность $|z|=R$. Ответ: ((π) / (sin(pπ))) (2^(p/2) cos(πp / 4) - 1)
Ниже приводится подробное решение задачи на нахождение
I(p) = ∫₀¹ [x^(1–p) (1–x)p / (1+x²)] dx, для –1 p 2,
при условии, что доказано равенство
lim₍R→∞₎ ∮₍|z|=R₎ [z^(1–p)(1–z)p/(1+z²)] dz = 2πi e^(–πip).
В конечном итоге оказывается, что результат можно записать в виде
I(p) = (π/sin(pπ))·[2^(p/2) cos(πp/4) – 1].
Ниже описаны шаги решения.
──────────────────────────────
Рассмотрим аналитическую функцию
f(z) = z^(1–p)(1–z)p/(1+z²) (1)
в комплексной плоскости. Здесь степень определяется с выбором ветви, поэтому необходимо ввести разрезы ...