вычислить I=∫∫(xdxdy)/(x2+y2), где D - область, ограниченная кривыми y=(x2)/2 и y=x

Для вычисления двойного интеграла $I = \iint_D \frac{x}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$, где $D$ - область, ограниченная кривыми $y = \frac{x^2}{2}$ и $y = x$, сначала опре...

Решим уравнение $\frac{x^2}{2} = x$:

Таким образом, точки пересечения: $x = 0$ и $x = 2$.

Теперь определим область $D$. Для $x$ от 0 до 2:

• Нижняя граница: $y = \frac{x^2}{2}$
• Верхняя граница: $y = x$

Теперь можем записать двойной интеграл:

Рассмотрим внутренний интеграл:

Для этого воспользуемся заменой переменной. Пусть $y = x \tan(t)$, тогда $dy = x \sec^2(t) \, dt$.

Когда $y = \frac{x^2}{2}$, $t = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{x^2}{2}}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$.

Когда $y = x$, $t = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим в интеграл:

Упрощаем:

Интеграл от $\sec^2(t)$ равен $\tan(t)$:

Теперь подставим результат внутреннего интеграла в внешний:

Вычисляем:

Таким образом, значение двойного интеграла $I$ равно: