Вычислить интеграл Лебега , если он существует.

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория меры и интеграла

Вычислить интеграл Лебега , если он существует.

Условие:

Вычислить интеграл Лебега $\int_{E} f(x) d x$ , если он существует.

f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}}, при x \in I \cap[0 ; \sqrt{3}] \\ \cos ^{2} x, при x \in Q \cap[0 ; \sqrt{3}], \quad E=[0, \sqrt{3}] \end{array}\right.

Решение:

Дано:

Функция $f(x)$ определена следующим образом: $ f(x) =

\begin{cases} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}}, & x \in I \cap [0, \sqrt{3}] \\ \cos^2 x, & x \in Q \cap [0, \sqrt{3}] \end{cases}

Область интегрирования $E = [0, \sqrt{3}]$ .

Найти:

Необходимо вычислить интеграл Лебега $\int_{E} f(x) \, dx$ .

Решение:

Определим множество $E$ : Множество $E = [0, \sqrt{3}]$ включает все числа в этом интервале. Однако функция $f(x)$ имеет разные определения в зависимости от того, является ли $x$ рациональным (принадлежит множеству $Q$ ) или иррациона...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство множества рациональных чисел используется при вычислении интеграла Лебега функции, определённой по-разному для рациональных и иррациональных чисел?

Множество рациональных чисел является замкнутым.

Мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Множество рациональных чисел является счётным.