Вычислить , где .

Чтобы вычислить предел

где $f(x)=2 \sin 3 x$ и $x_{0}=\frac{\pi}{6}$, начнем с подстановки значения $x_{0}$ в функцию $f$.

1. Вычислим $f\left(x_{0}\right)$:

   $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 2.$$

2. Теперь вычислим $f\left(x_{0} + \Delta x\right)$:

   $$f\left(\frac{\pi}{6} + \Delta x\right) = 2 \sin\left(3\left(\frac{\pi}{6} + \Delta x\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\Delta x\right).$$

3. Используем формулу для синуса суммы:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\Delta x\right) = \cos(3\Delta x).$$
   ...