![задача 2.2 Вычислить определенные интегралы. Решение проверить в MathCad. [ int_{0}^{1} x ln (1+x) d x ]](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
Условие:
задача 2.2
Вычислить определенные интегралы. Решение проверить в MathCad.
\[
\int_{0}^{1} x \ln (1+x) d x
\]
Решение:
Найдем интеграл I = ∫₀¹ x · ln(1 + x) dx с использованием метода интегрирования по частям. 1. Выберем функции: u = ln(1 + x) ⇒ du = 1/(1 + x) dx, dv = x dx ⇒ v = ∫ x dx = x²/2. 2. Применяем формулу интегрирования по частям: ∫ u dv = [u · v]₀¹ − ∫₀¹ v du. Подставляем полученные выражения: I = [ln(1+x) · (x²/2)]₀¹ − ∫₀¹ (x²/2) · [1/(1+x)] dx. Вычисляем значение на границах: При x = 1: ln(1+1) = ln2, x²/2 = 1²/2 = 1/2, При x = 0: ln1 = 0. Таким образом, ...