Вычислить определённый интеграл с точностью , используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд: .

Добавлена: 17.09.2026
Обновлена: 17.09.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Вычислить определённый интеграл с точностью , используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд: .

Условие:

Вычислить определённый интеграл с точностью (\varepsilon=0,001), используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд: (\int_{0}^{0,4} \sin(16x^2)dx).

Решение:

1. Дано

Нам нужно вычислить определенный интеграл:

\nI = \int_{0}^{0,4} \sin(16x^2) \, dx

с точностью

\varepsilon = 0,001

2. Решение

Шаг 1: Разложение функции в степенной ряд Известно разложение функции синуса в ряд Тейлора (Маклорена):

\sin(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{(2n+1)!} = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \dots

Подставим

t = 16x^2

в это разложение:

\sin(16x^2) = (16x^2) - \frac{(16x^2)^3}{6} + \frac{(16x^2)^5}{120} - \dots

\sin(16x^2) = 16x^2 - \frac{4096x^6}{6} + \frac{1048576x^{10}}{120} - \dots

Упростим коэффициенты:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении определённого интеграла путём разложения подынтегральной функции в степенной ряд, какой критерий используется для определения количества членов ряда, необходимых для достижения заданной точности \(\varepsilon\)?

Сумма всех последующих членов ряда должна быть меньше (\varepsilon).

Абсолютное значение первого отброшенного члена ряда должно быть меньше (\varepsilon).

Количество членов ряда определяется степенью полинома, аппроксимирующего функцию.