Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: а) ; б) . а) б) в) .

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

а) $y=\sin (2 x), y=0, x=\pi / 12, x=\pi / 4$ ; б) $r=7^{4 \varphi}, \varphi=1 / 4, \varphi=1 / 2$ .

а) $y=\frac{1}{4}\left(3 x^{2}-17 x+18\right), x-4 y+3=0$ б) $\left{

\begin{array}{l}x=2 \cos t \\ y=3 \sin 2 t\end{array}

в) $r=2 \cos \varphi+3,-\pi \leq \varphi \leq \pi$ .

Решение:

1 Уровень

Задача 1(а): Площадь под кривой в декартовых координатах

1. Дано: Фигура ограничена линиями:

Верхняя граница: $y = \sin(2x)$
Нижняя граница: $y = 0$ (ось $Ox$ )
Боковые границы: $x = \frac{\pi}{12}$ и $x = \frac{\pi}{4}$

2. Найти: Площадь $S$ фигуры.

3. Решение: Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ , осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ , вычисляется по формуле:

\nS = \int_{a}^{b} f(x) dx

В нашем случае

f(x) = \sin(2x)

a = \frac{\pi}{12}

b = \frac{\pi}{4}

\nS = \int_{\pi/12}^{\pi/4} \sin(2x) dx

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах $r = r(\varphi)$, и двумя полярными углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$?

$S = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r^2 d\varphi$