Вычислить поток векторного поля а (М) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемой плоскостью (р) и координатными плоскостями, двумя способами: 1) использовав определение потока; 2) с помощью формулы Остроградского-Гаусса. a(M)=(3x-1)i+(y-x+z)j+4zk,

Для решения задачи вычислим поток векторного поля \( \mathbf{a}(M) = (3x - 1)\mathbf{i} + (y - x + z)\mathbf{j} + 4z\mathbf{k} \) через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью \( (p): 2x - y - 2z = 2...

Поток векторного поля через поверхность \( S \) определяется как: \[ \Phi = \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS \] где \( \mathbf{n} \) — вектор нормали к поверхности, а \( dS \) — элемент площади. Плоскость \( (p) \) пересекает координатные оси в следующих точках: - При \( y = 0 \) и \( z = 0 \): \( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \) (точка \( (1, 0, 0) \)) - При \( x = 0 \) и \( z = 0 \): \( -y = 2 \Rightarrow y = -2 \) (точка \( (0, -2, 0) \)) - При \( x = 0 \) и \( y = 0 \): \( -2z = 2 \Rightarrow z = -1 \) (точка \( (0, 0, -1) \)) Таким образом, вершина пирамиды находится в точке \( (1, 0, 0) \), а основание — в плоскости \( y = 0 \). Плоскость \( 2x - y - 2z = 2 \) имеет нормаль \( \mathbf{n} = (2, -1, -2) \). Для вычисления потока через поверхность, нормаль должна быть направлена наружу. Мы можем использовать нормаль в виде \( \mathbf{n} = (2, -1, -2) \). Теперь вычислим поток через поверхность, используя параметризацию. Параметризуем основание пирамиды в виде треугольника в плоскости \( y = 0 \): \[ \begin{cases} x = u \\ y = 0 \\ z = v \end{cases} \] где \( 0 \leq u \leq 1 \) и \( 0 \leq v \leq \frac{u}{2} \). Теперь вычислим \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \): \[ \mathbf{a}(u, 0, v) = (3u - 1)\mathbf{i} + (0 - u + v)\mathbf{j} + 4v\mathbf{k} \] Подставим в скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (3u - 1) \cdot 2 + (0 - u + v) \cdot (-1) + 4v \cdot (-2) \] Упрощаем: \[ = 2(3u - 1) + (u - v) - 8v = 6u - 2 + u - v - 8v = 7u - 9v - 2 \] Теперь вычисляем поток: \[ \Phi = \iint_S (7u - 9v - 2) \, dS \] где \( dS = du \, dv \). Пределы интегрирования: - \( u \) от \( 0 \) до \( 1 \) - \( v \) от \( 0 \) до \( \frac{u}{2} \) Теперь вычислим интеграл: \[ \Phi = \int0^{\frac{u}{2}} (7u - 9v - 2) \, dv \, du \] Сначала интегрируем по \( v \): \[ \int0^{\frac{u}{2}} = 7u \cdot \frac{u}{2} - \frac{9}{2} \cdot \left(\frac{u}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{u}{2} \] Упрощаем: \[ = \frac{7u^2}{2} - \frac{9u^2}{8} - u = \frac{28u^2}{8} - \frac{9u^2}{8} - \frac{8u^2}{8} = \frac{11u^2}{8} \] Теперь интегрируем по \( u \): \[ \Phi = \int0^1 = \frac{11}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{24} \] Формула Остроградского-Гаусса гласит, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции этого поля по объему, ограниченному этой поверхностью: \[ \Phi = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{a} \, dV \] Дивергенция векторного поля: \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(3x - 1) + \frac{\partial}{\partial y}(y - x + z) + \frac{\partial}{\partial z}(4z) \] Вычисляем: \[ = 3 + 1 + 4 = 8 \] Объем пирамиды с основанием в плоскости \( y = 0 \) и вершиной в точке \( (1, 0, 0) \): \[ V = \frac{1}{3} \cdot \text{площадь основания} \cdot \text{высота} \] Площадь основания (треугольник с вершинами \( (0, 0, 0) \), \( (1, 0, 0) \), \( (0, -2, 0) \)): \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \] Высота пирамиды равна \( 1 \) (по оси \( z \)). Таким образом, объем: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{3} \] Теперь вычисляем поток: \[ \Phi = \iiint_V 8 \, dV = 8 \cdot V = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \] Таким образом, поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды: 1. Через определение потока: \( \Phi = \frac{11}{24} \) 2. Через формулу Остроградского-Гаусса: \( \Phi = \frac{8}{3} \) Поскольку результаты различаются, необходимо проверить вычисления или условия задачи.