Задача 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода. 6. do/1+2z; S: z= 1/2(x²+y²) (0≤z≤1)

Для вычисления поверхностного интеграла первого рода \( \iint_S f(x, y, z) \, dS \) по поверхности \( S \), заданной уравнением \( z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) \)...

Сначала найдем, при каких значениях \( x \) и \( y \) поверхность \( S \) будет находиться в пределах \( 0 \leq z \leq 1 \). Уравнение \( z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) \) можно переписать как: \[ x^2 + y^2 = 2z \] При \( z = 1 \): \[ x^2 + y^2 = 2 \cdot 1 = 2 \] Таким образом, область интегрирования в плоскости \( xy \) будет кругом радиуса \( \sqrt{2} \). Параметризуем поверхность \( S \) с помощью полярных координат: \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = \frac{1}{2} r^2 \] где \( 0 \leq r \leq \sqrt{2} \) и \( 0 \leq \theta 2\pi \). Элемент площади \( dS \) на поверхности можно найти с помощью формулы: \[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy \] Сначала найдем частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = y \] Тогда: \[ dS = \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dx \, dy \] В полярных координатах \( x^2 + y^2 = r^2 \), следовательно: \[ dS = \sqrt{1 + r^2} \, dx \, dy \] Преобразуем \( dx \, dy \) в полярные координаты: \[ dx \, dy = r \, dr \, d\theta \] Таким образом, элемент площади будет: \[ dS = \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \] Теперь подставим в интеграл: \[ \iint0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \frac{6}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2} r^2} \cdot \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \] Упрощаем выражение: \[ \frac{6}{1 + r^2} \] Теперь интеграл принимает вид: \[ \int0^{\sqrt{2}} \frac{6}{1 + r^2} \cdot \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr \] Сначала вычислим интеграл по \( r \): \[ \int_0^{\sqrt{2}} \frac{6r \sqrt{1 + r^2}}{1 + r^2} \, dr \] Сделаем замену \( u = 1 + r^2 \), тогда \( du = 2r \, dr \) или \( dr = \frac{du}{2r} \). При \( r = 0 \), \( u = 1 \), при \( r = \sqrt{2} \), \( u = 3 \). Интеграл становится: \[ \int1^3 u^{-1/2} \, du \] Вычисляем: \[ 3 \left[ 2\sqrt{u} \right]_1^3 = 3 \cdot 2 (\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{3} - 1) \] Теперь интеграл по \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Теперь перемножим результаты: \[ \text{Итог} = 2\pi \cdot 6(\sqrt{3} - 1) = 12\pi(\sqrt{3} - 1) \] Таким образом, ответ: \[ \boxed{12\pi(\sqrt{3} - 1)} \]