Разбор задачи

Вычислить предел

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Вычислить предел

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1} \cdot(4 x+3)^{2}}{x^{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}+6 x+1}} .

Решение:

Для вычисления предела

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1} \cdot(4 x+3)^{2}}{x^{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}+6 x+1}},

начнем с упрощения выражения.

Шаг 1: Упростим числитель.

В числителе у нас есть два множителя: $\sqrt{x^{2}+x+1}$ и $(4x+3)^{2}$ .

Для $\sqrt{x^{2}+x+1}$ при $x \rightarrow \infty$ можно выделить $x^2$ :

$\sqrt{x^{2}+x+1} = \sqrt{x^{2}(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}.$

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее эффективным для вычисления предела функции при $x \rightarrow \infty$, когда функция представляет собой отношение многочленов или выражений, содержащих корни из многочленов?

Метод подстановки бесконечности в функцию.

Метод деления числителя и знаменателя на старшую степень $x$ или выделение старших степеней $x$ в каждом множителе.