Условие:
\( \)Вычислить предел:\( \lim _{x \rightarrow \infty}(x \sqrt{x}-\sqrt{x(x+1)(x+2)}) \)
\( \)
Решение:
Чтобы вычислить предел \( \lim _{x \rightarrow \infty}(x \sqrt{x}-\sqrt{x(x+1)(x+2)}) \), начнем с упрощения выражения под пределом. 1. Раскроем корень: \[ \sqrt{x(x+1)(x+2)} = \sqrt{x^3 + 3x^2 + 2x} \] 2. Вынесем \( x^{3/2} \) за скобки: \[ \sqrt{x^3 + 3x^2 + 2x} = \sqrt{x^3(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})} = x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} \] 3. Теперь подставим это обратно в предел: \[ x \sqrt{x} - \sqrt{x(x+1)(x+2)} = x^{3/2} - x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} \] 4. Вынесем \( x^{3/2} \) за скобки: \[ x^{3/2} \left(1 - \sq...