Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{tg} x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Решение:

Для вычисления предела

\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{tg} x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

мы можем использовать правило Лопиталя, так как при $x \rightarrow 0$ обе части стремятся к бесконечности.

Шаг 1: Приведем выражение к общему знаменателю.

Объединим дроби:

\frac{1}{\operatorname{tg} x} - \frac{1}{e^{x}-1} = \frac{e^{x}-1 - \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x (e^{x}-1)}

Теперь нам нужно найти предел:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1 - \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x (e^{x}-1)}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование необходимо выполнить в первую очередь для вычисления предела вида $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\operatorname{tg} x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)$ с помощью правила Лопиталя?

Разложить каждую функцию в ряд Тейлора.

Привести выражение к общему знаменателю.

Найти производные числителя и знаменателя по отдельности.