Вычислить производные сложной функции в заданной точке, предварительно записав формулы дифференцирования

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Вычислить производные сложной функции в заданной точке, предварительно записав формулы дифференцирования

Условие:

Вычислить производные $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ сложной функции в заданной точке, предварительно записав формулы дифференцирования

z=\frac{1}{\sqrt{u}}-\sin v, u=x y, v=x^{2}+y^{2}, x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, y=\frac{\sqrt{\pi}}{2} .

Решение:

Дано:

Функция $z$ зависит от $u$ и $v$ :

z = f(u, v) = \frac{1}{\sqrt{u}} - \sin v

Переменные

u

v

зависят от

x

y

u = g(x, y) = xy

v = h(x, y) = x^2 + y^2

Точка, в которой нужно вычислить производные:

x_0 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad y_0 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

Найти:

Частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ в заданной точке.

Решение:

Шаг 1: Запись формул дифференцирования сложной функции

Для функции $z = f(u(x, y), v(x, y))$ , частные производные находятся по правилу цепи:

Производная по $x$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое правило дифференцирования используется для нахождения частной производной $\frac{\partial z}{\partial x}$ сложной функции $z = f(u(x, y), v(x, y))$?

$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $

$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $

$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} + \frac{\partial v}{\partial x} $