Вычислить тройной интеграл , начертить область интегрирования и изобразить проекцию этой области на плоскость . Область задана условиями: , , , .

Добавлена: 18.09.2026
Обновлена: 18.09.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Аналитическая геометрия

Вычислить тройной интеграл , начертить область интегрирования и изобразить проекцию этой области на плоскость . Область задана условиями: , , , .

Условие:

Вычислить тройной интеграл $\iiint_{\Omega} xyzdxdydz$ , начертить область интегрирования и изобразить проекцию этой области на плоскость $Oxy$ . Область $\Omega$ задана условиями: $x^2+y^2+z^2 \le a^2$ , $0 \le x$ , $0 \le y$ , $0 \le z$ .

Решение:

1. Дано

Вычислить интеграл:

\nI = \iiint_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz

Область

\Omega

\Omega = \{ (x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 \le R^2, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \}

2. Решение

Наиболее удобно решать эту задачу в сферических координатах:

\nx = r \sin\theta \cos\varphi, \quad y = r \sin\theta \sin\varphi, \quad z = r \cos\theta

Якобиан перехода равен

J = r^2 \sin\theta

Пределы интегрирования:

Для первой октанты: $0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$ (угол в плоскости $xy$ ), $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ (угол от оси $z$ ).
Для радиуса: $0 \le r \le R$ ....

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод интегрирования наиболее подходит для вычисления тройного интеграла по области, ограниченной сферой и координатными плоскостями в первом октанте?

Цилиндрические координаты

Сферические координаты

Декартовы координаты