Вычислите длину кривой, заданной в полярных координатах уравнением [ r=3 cdot(1+(-1) cos ( arphi)), quad lpha leq arphi leq eta ] где ( lpha=0 ) и ( eta= rac{2 pi}{3} ). В ответе укажите квадрат длины кривой в виде целого числа или неправильной дроби.

24 октября 2025
Высшая математика

Условие:

Вычислите длину кривой, заданной в полярных координатах уравнением
\[
r=3 \cdot(1+(-1) \cos (\varphi)), \quad \alpha \leq \varphi \leq \beta
\]

где \( \alpha=0 \) и \( \beta=\frac{2 \pi}{3} \).
В ответе укажите квадрат длины кривой в виде целого числа или неправильной дроби.

Решение:

Для вычисления длины кривой, заданной в полярных координатах, мы используем формулу для длины кривой: \[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^2 + r^2 } \, d\varphi \] где \( r \) — это функция от угла \( \varphi \). В нашем случае \( r = 3(1 - \cos(\varphi)) \), \( \alpha = 0 \), \( \beta = \frac{2\pi}{3} \). 1. Находим производную \( \frac{dr}{d\varphi} \): \[ \frac{dr}{d\varphi} = 3 \cdot \frac{d}{d\varphi}(1 - \cos(\varphi)) = 3 \cdot \sin(\varphi) \] 2. Подставляем \( r \) и \( \frac{dr}{d\varphi} \) в формулу для длины: \[ L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}...