[ int e^{-x}left(x^{2}-2 x+3 ight) d x=left(x^{2}-2 x+3 ight)left(-e^{-x} ight)-intleft(-e^{-x} ight)(2 x-2) d x=-left(x^{2}-2 x+3 ight) e^{-x}+int e^{-x}(2 x-2) d x= ] После применения формулы интегрирования по частям интеграл извлекается лишь частично.

\[
\int e^{-x}\left(x^{2}-2 x+3\right) d x=\left(x^{2}-2 x+3\right)\left(-e^{-x}\right)-\int\left(-e^{-x}\right)(2 x-2) d x=-\left(x^{2}-2 x+3\right) e^{-x}+\int e^{-x}(2 x-2) d x=
\]

После применения формулы интегрирования по частям интеграл извлекается лишь частично. В предыдущих примерах, оставшийся интеграл был табличным. В данном случае, как видно, оставшийся интеграл не табличный - он такого же вида, лишь чуть проще, так как степень многочлена стала меньше. Поэтому, чтобы его найти, снова применим, по отношению к нему, формулу интегрирования по частям:

Разобьем его на две части. Как рекомендуется, многочлен \( P(x)=2 x-2 \) примем за \( u \), а остальную часть за \( d v \). А именно, пусть
\[
u=2 x-2, d v=e^{-x} d x
\]

Для того, чтобы можно было воспользоваться формулой интегрирования по частям, нужно найти \( d u \) и \( v \) :
\[
\begin{array}{l}
u=2 x-2=>d u=(2 x-2)^{\prime} d x=2 d x \\
d v=e^{-x} d x=>v=\int e^{-x} d x=-e^{-x}
\end{array}
\]

Все найденные результаты, вновь, подставляем в формулу интегрирования по частям
\[
=-\left(x^{2}-2 x+3\right) e^{-x}+(2 x-2)\left(-e^{-x}\right)+2 \int e^{-x} d x
\]

и вычислив оставшийся интеграл получаем ответ
\[
\int e^{-x}\left(x^{2}-2 x+3\right) d x=
\]

равен ...
\( =-\left(x^{2}+1\right) e^{-x} \)
\( =\left(x^{2}+3\right) e^{-x} \)
\( =-\left(x^{2}-2 x+3\right) e^{-x}-(2 x-2) e^{-x}+2 e^{-x}+\mathrm{C} \)
\( =-\left(x^{2}-2 x+3\right) e^{-x}+(2 x-2) e^{-x}+2 e^{-x}+\mathrm{C} \)
\( =-\left(x^{2}-2 x+3\right) e^{-x}-(2 x-2) e^{-x}-2 e^{-x}+\mathrm{C} \)