Условие:
Выберите правильный результат вычисления интеграла от простейшей дроби \( \int \frac{x d x}{x^{2}+x+1} \)
Выберите один ответ:
a. \( \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)-\frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin \left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \)
b. \( \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)-\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arcctg}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \)
c. \( \frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)-\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \)
Решение:
Рассмотрим интеграл I = ∫ (x dx)/(x² + x + 1). Шаг 1. Представляем числитель через производную знаменателя. Обозначим f(x) = x² + x + 1. Тогда f (x) = 2x + 1. Мы можем записать: x = ½(2x + 1) – ½. Следовательно, интеграл переписывается как: I = ∫ [½(2x+1) – ½] / (x²+x+1) dx = ½ ∫ (2x+1)/(x²+x+1) dx – ½ ∫ dx/(x²+x+1). Шаг 2. Вычислим первый интеграл. Обозначим u = x²+x+1, тог...