Условие:
Вычисли криволинейный интеграл dl/(x +2y +5), L - отрезок прямой y = 2x -2 заключённый между точками
A(0, -2), B (1;0)
Решение:
Чтобы вычислить криволинейный интеграл \(\int_L \frac{dl}{x + 2y + 5}\), где \(L\) - отрезок прямой \(y = 2x - 2\) между то...
Параметризуем отрезок прямой. Мы можем взять \(x\) как параметр \(t\): - \(x = t\) - \(y = 2t - 2\) Параметр \(t\) будет изменяться от 0 до 1, так как \(A(0, -2)\) соответствует \(t = 0\), а \(B(1, 0)\) соответствует \(t = 1\). Теперь найдем \(dl\): \[ dl = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \] Сначала найдем производные: - \(dx = dt\) - \(dy = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2dt\) Теперь подставим в формулу для \(dl\): \[ dl = \sqrt{(dt)^2 + (2dt)^2} = \sqrt{1 + 4} dt = \sqrt{5} dt \] Теперь подставим \(x\) и \(y\) в выражение \(x + 2y + 5\): \[ x + 2y + 5 = t + 2(2t - 2) + 5 = t + 4t - 4 + 5 = 5t + 1 \] Теперь можем записать интеграл: \[ \int0^1 \frac{\sqrt{5}}{5t + 1} dt \] Теперь вычислим интеграл: \[ \int_0^1 \frac{\sqrt{5}}{5t + 1} dt \] Для этого воспользуемся заменой переменной: Пусть \(u = 5t + 1\), тогда \(du = 5dt\) или \(dt = \frac{du}{5}\). Когда \(t = 0\), \(u = 1\), а когда \(t = 1\), \(u = 6\). Теперь подставим в интеграл: \[ \int1^6 \frac{1}{u} du \] Интеграл \(\int \frac{1}{u} du = \ln |u|\), поэтому: \[ \frac{\sqrt{5}}{5} \left[ \ln |u| \right]_1^6 = \frac{\sqrt{5}}{5} (\ln 6 - \ln 1) = \frac{\sqrt{5}}{5} \ln 6 \] Таким образом, криволинейный интеграл равен: \[ \int_L \frac{dl}{x + 2y + 5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \ln 6 \]