Вычислите поточечный предел последовательности функций при . Сходится ли эта последовательность равномерно? Сходится ли она в среднем? Сходится ли она в среднеквадратичном?

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Вычислите поточечный предел последовательности функций при . Сходится ли эта последовательность равномерно? Сходится ли она в среднем? Сходится ли она в среднеквадратичном?

Условие:

Вычислите поточечный предел последовательности функций $f_{n}$ при $x \in[0,+\infty)$ . Сходится ли эта последовательность равномерно? Сходится ли она в среднем? Сходится ли она в среднеквадратичном?

f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}

Решение:

Поточечный предел

Для каждого фиксированного x ∈ [0, +∞) рассмотрим функцию

fₙ(x) = (n·x)/(1 + n²·x²).

• Если x = 0, то
fₙ(0) = 0/1 = 0 для всех n.

• Если x > 0, заметим, что при n → ∞ знаменатель 1 + n²x² растет гораздо быстрее, чем числитель n·x. Можно записать:
fₙ(x) = (n·x)/(1+n²·x²) = (x/n)/(1/n² + x²).
При n → ∞ получаем числитель → 0, а знаменатель → x², следовательно,
limₙ→∞ fₙ(x) =
0.

Таким образом, для любого x ∈ [0, +∞)
limₙ→∞ fₙ(x) = 0,
то есть поточечный предел равен нулевой функции f(x) ≡
0.

──────────────────────────────
Равномерная сходимость

Чтобы проверить равномерную сходимость к 0, рассмотрим супремум |fₙ(x)| по x ∈ [0, +∞).

Найдем максимум функции fₙ(x) для фиксированного n. Для этого можно вычислить производную:

fₙ(x) = (n·x)/(1+n²·x²).

Найдем её производную fₙ'(x):

fₙ'(x) = d/dx [ (n·x)/(1+n²·x²) ]...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие является достаточным для того, чтобы последовательность функций $f_n(x)$ сходилась к функции $f(x)$ в среднеквадратичном смысле (по норме $L^2$)?

Последовательность $f_n(x)$ сходится к $f(x)$ равномерно.