Условие:
\( y^{\prime}=(2 y+1) \operatorname{ctg} x, y\left(\frac{\pi}{4} \frac{\pi}{\dot{ }}=\frac{1}{2}\right. \)
Решение:
Решим дифференциальное уравнение \( y = (2y + 1) \cot x \) с начальным условием \( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \). 1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \( y = (2y + 1) \cot x \). 2. Разделим переменные: \( \frac{dy}{2y + 1} = \cot x \, dx \). 3. Интегрируем обе стороны: Левую сторону интегрируем: \( \int \frac{dy}{2y + 1} = \frac{1}{2} \ln |2y + 1| + C_1 \). Правую сторону интегрируем: \( \int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C_2 \). Таким обра...
