- Библиотека Кэмп

Разбор задачи

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

$y^{\prime \prime}+y=\cos x, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0$

Решение:

Для решения задачи найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

y^{\prime \prime} + y = \cos x

с начальными условиями:

y(0) = 0, \quad y^{\prime}(0) = 0.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

y^{\prime \prime} + y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 + 1 = 0.

Корни этого уравнения:

r = i \quad \text{и} \quad r = -i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При нахождении частного решения неоднородного дифференциального уравнения $ y^{\prime \prime}+y=\cos x $ методом неопределенных коэффициентов, почему пробное частное решение $ y_p $ выбирается в виде $ x(A \cos x + B \sin x) $, а не просто $ A \cos x + B \sin x $?

Потому что правая часть уравнения $\cos x$ является решением соответствующего однородного уравнения.

Потому что это стандартное правило для всех неоднородных уравнений второго порядка.

Потому что это упрощает вычисления производных.