Задача 13. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 4 ≤ x² + y² + z² ≤ 64 -√(x² + y²) / 35 ≤ z ≤ √(x² + y²) / 3 x ≤ y ≤ 0.

Рассмотрим задачу в сферических координатах. Пусть     x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ, Якобиан преобразования: ρ² sinφ. 1. Ограничение по радиусу. Так как     4 ≤ x² + y² + z² ≤ 64 то     4 ≤ ρ² ≤ 64 ⇒ ρ от 2 до 8. 2. Нерaвенство для z. Оно дано в виде     –√(x²+y²)/35 ≤ z ≤ √(x²+y²)/3. В цилиндрических координатах x²+y² = (ρ sinφ)², z = ρ cosφ, поэтому делим на ρ (0):     – (ρ sinφ)/35 ≤ ρ cosφ ≤ (ρ sinφ)/3  ⇒  – sinφ/35 ≤ cosφ ≤ sinφ/3. Заметим, что sinφ ≥ 0 (при φ от 0 до π). Разберём неравенство по случаям. 2.1. Случай, когда cosφ положительно (φ ∈ [0, π/2...