Условие:
Задача 51. Постройте нетривиальное (то есть неизоморфное тривиальному) накрытие степени 2 над букетом из двух окружностей.
Решение:
Рассмотрим букет из двух окружностей, обозначим его за X, и зафиксируем в X общую точку (основание). Фундаментальная группа X равна свободной группе из двух генераторов, то есть π₁(X) = F(a, b). Идея состоит в том, чтобы найти неподгруппу индекса 2 в F(a, b) (то есть соответствующую накрытию степени 2), которая даст нетривиальное накрытие. Шаг 1. Построение гомоморфизма в Z₂ Легко заметить, что любой гомоморфизм φ: F(a, b) → Z₂ задаётся произвольным образом на генераторах. Выберем такой гомоморфизм, который определим так: φ(a) = 1 (не ноль по модулю 2) φ(b) = 0 Поскольку Z₂ – цикл...