Задан сигнал s(t) в виде последовательности прямоугольных импульсов (видеоимпульсов) длительностью  = 8 сек. с периодом Т = 8 ⋅ 9 сек. и амплитудой U = 1 В. Рассчитать коэффициенты его разложения в ряд Фурье, изобразить диаграмму амплитудного спектра.

Для решения задачи о разложении сигнала \( s(t) \) в ряд Фурье, начнем с определения основных параметров сигнала.

Шаг 1: Определение параметров сигнала

Дано:
- Длительность импульса \( \tau = 8 \) сек.
- Период сигнала \( T = 8 \cdot 9 = 72 \) сек.
- Амплитуда \( U = 1 \) В.

Сигнал \( s(t) \) представляет собой последовательность прямоугольных импульсов, которые имеют длительность \( \tau \) и период \( T \).

Шаг 2: Формула для коэффициентов Фурье

Коэффициенты Фурье \( an \) и \( bn \) для периодического сигнала можно вычислить по следующим формулам:

\[
a0 = \frac{1}{T} \int0^T s(t) \, dt
\]

\[
a...0^T s(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt \] \[ b0^T s(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt \] Сначала найдем \( a_0 \): Сигнал \( s(t) \) равен \( U = 1 \) В в интервале от \( 0 \) до \( \tau \) и равен \( 0 \) в интервале от \( \tau \) до \( T \). \[ a0^T s(t) \, dt = \frac{1}{72} \left( \int8^{72} 0 \, dt \right) = \frac{1}{72} \cdot 8 = \frac{8}{72} = \frac{1}{9} \] Теперь найдем \( a_n \): \[ a0^T s(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt = \frac{2}{72} \int_0^8 1 \cdot \cos\left(\frac{2\pi n t}{72}\right) \, dt \] Вычислим интеграл: \[ \int0^8 = \frac{72}{2\pi n} \left( \sin\left(\frac{2\pi n \cdot 8}{72}\right) - \sin(0) \right) = \frac{72}{2\pi n} \sin\left(\frac{16\pi n}{72}\right) \] Подставим это в формулу для \( a_n \): \[ a_n = \frac{2}{72} \cdot \frac{72}{2\pi n} \sin\left(\frac{16\pi n}{72}\right) = \frac{1}{\pi n} \sin\left(\frac{16\pi n}{72}\right) \] Теперь найдем \( b_n \): \[ b0^T s(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt = \frac{2}{72} \int_0^8 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi n t}{72}\right) \, dt \] Вычислим интеграл: \[ \int0^8 = -\frac{72}{2\pi n} \left( \cos\left(\frac{16\pi n}{72}\right) - \cos(0) \right) = -\frac{72}{2\pi n} \left( \cos\left(\frac{16\pi n}{72}\right) - 1 \right) \] Подставим это в формулу для \( b_n \): \[ b_n = \frac{2}{72} \cdot \left(-\frac{72}{2\pi n}\right) \left( \cos\left(\frac{16\pi n}{72}\right) - 1 \right) = -\frac{1}{\pi n} \left( \cos\left(\frac{16\pi n}{72}\right) - 1 \right) \] Таким образом, коэффициенты Фурье для сигнала \( s(t) \): - \( a_0 = \frac{1}{9} \) - \( a_n = \frac{1}{\pi n} \sin\left(\frac{16\pi n}{72}\right) \) - \( b_n = -\frac{1}{\pi n} \left( \cos\left(\frac{16\pi n}{72}\right) - 1 \right) \) Амплитудный спектр определяется как: \[ An^2 + b_n^2} \] Для построения диаграммы амплитудного спектра необходимо вычислить \( A_n \) для различных значений \( n \) и построить график. Мы нашли коэффициенты Фурье для заданного сигнала и описали процесс их вычисления. Для построения диаграммы амплитудного спектра можно использовать программное обеспечение, такое как Python или MATLAB, чтобы визуализировать полученные значения.