Задана функция f(x) = (2x2 - 2) / (x - 1). Нужно определить характер разрыва в точке x0 = 1.

Чтобы определить характер разрыва функции $f(x) = \frac{2x^2 - 2}{x - 1}$ в точке $x_0 ...

Подставим $x = 1$ в функцию:

$$f(1) = \frac{2(1)^2 - 2}{1 - 1} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$$

Это неопределенность, что указывает на возможный разрыв в данной точке.

Попробуем упростить функцию $f(x)$. Заметим, что числитель можно разложить:

$$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1)$$

Теперь подставим это в функцию:

$$f(x) = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$$

При $x \neq 1$ мы можем сократить $(x - 1)$:

$$f(x) = 2(x + 1) \quad \text{при } x \neq 1$$

Теперь найдем предел функции $f(x)$ при $x$ стремящемся к 1:

$$\lim{x \to 1} 2(x + 1) = 2(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$$

Так как предел функции $f(x)$ при $x \to 1$ существует и равен 4, но значение функции $f(1)$ не определено (неопределенность $\frac{0}{0}$), это указывает на то, что в точке $x_0 = 1$ имеется разрыв первого рода (разрыв с определенным пределом).

Разрыв в точке $x_0 = 1$ является разрывом первого рода.