Заданы три точки А(-5; -4), В(8;6), С(7; —6). Найти: а) общее уравнение прямой АВ (прямая 1) и её угловой коэффициент; б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С параллельно (прямая 2) и перпендикулярно (прямая 3) прямой АВ; в) точки пересечения

Для решения задачи будем действовать поэтапно.

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент прямой АВ

Угловой коэффициент \( k \) прямой, проходящей через две точки \( A(x1, y1) \) и \( B(x2, y2) \), вычисляется по формуле:

\[
k = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}
\]

Подставим координаты точек \( A(-5, -4) \) и \( B(8, 6) \):

\[
k = \frac{6 - (-4)}{8 - (-5)} = \frac{6 + 4}{8 + 5} = \frac{10}{13}
\]

Шаг 2: Найдем общее уравнение прям...

Общее уравнение прямой можно записать в виде: \[ y - y1) \] Подставим \( k = \frac{10}{13} \), \( x1 = -4 \): \[ y - (-4) = \frac{10}{13}(x - (-5)) \] Упростим уравнение: \[ y + 4 = \frac{10}{13}(x + 5) \] Умножим обе стороны на 13, чтобы избавиться от дроби: \[ 13(y + 4) = 10(x + 5) \] Раскроем скобки: \[ 13y + 52 = 10x + 50 \] Перепишем уравнение в общем виде: \[ 10x - 13y + 2 = 0 \] Прямая, параллельная прямой АВ, будет иметь тот же угловой коэффициент \( k = \frac{10}{13} \). Уравнение прямой, проходящей через точку \( C(7, -6) \): \[ y - y1) \] Подставим \( k \), \( x1 = -6 \): \[ y - (-6) = \frac{10}{13}(x - 7) \] Упрощаем: \[ y + 6 = \frac{10}{13}(x - 7) \] Умножим на 13: \[ 13(y + 6) = 10(x - 7) \] Раскроем скобки: \[ 13y + 78 = 10x - 70 \] Перепишем в общем виде: \[ 10x - 13y - 148 = 0 \] Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен \( -\frac{1}{k} \): \[ k_{перпендикулярной} = -\frac{1}{\frac{10}{13}} = -\frac{13}{10} \] Уравнение прямой, проходящей через точку \( C(7, -6) \): \[ y - (-6) = -\frac{13}{10}(x - 7) \] Упрощаем: \[ y + 6 = -\frac{13}{10}(x - 7) \] Умножим на 10: \[ 10(y + 6) = -13(x - 7) \] Раскроем скобки: \[ 10y + 60 = -13x + 91 \] Перепишем в общем виде: \[ 13x + 10y - 31 = 0 \] Теперь у нас есть две прямые: 1. \( 10x - 13y + 2 = 0 \) (прямая 1) 2. \( 13x + 10y - 31 = 0 \) (прямая 3) Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ 13y = 10x + 2 \implies y = \frac{10}{13}x + \frac{2}{13} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ 13x + 10\left(\frac{10}{13}x + \frac{2}{13}\right) - 31 = 0 \] Умножим на 13, чтобы избавиться от дробей: \[ 13 \cdot 13x + 10(10x + 2) - 31 \cdot 13 = 0 \] Упрощаем: \[ 169x + 100x + 20 - 403 = 0 \] Соберем все вместе: \[ 269x - 383 = 0 \implies x = \frac{383}{269} \] Теперь найдем \( y \): \[ y = \frac{10}{13}\left(\frac{383}{269}\right) + \frac{2}{13} \] Упрощаем: \[ y = \frac{10 \cdot 383 + 2 \cdot 269}{13 \cdot 269} = \frac{3830 + 538}{3497} = \frac{4368}{3497} \] Координаты точки пересечения: \[ \left(\frac{383}{269}, \frac{4368}{3497}\right) \] Сумма координат: \[ \frac{383}{269} + \frac{4368}{3497} \] Для нахождения угловых коэффициентов: - Угловой коэффициент прямой 1: \( \frac{10}{13} \) - Угловой коэффициент прямой 3: \( -\frac{13}{10} \) Сумма угловых коэффициентов: \[ \frac{10}{13} - \frac{13}{10} \] Теперь вычислим: 1. Сумма координат: \[ \frac{383}{269} + \frac{4368}{3497} \approx 1.424 + 1.248 \approx 2.672 \] 2. Сумма угловых коэффициентов: \[ \frac{10}{13} - \frac{13}{10} = \frac{100 - 169}{130} = -\frac{69}{130} \approx -0.531 \] Сумма координат точки пересечения и угловых коэффициентов: \[ 2.672 - 0.531 \approx 2.141 \] Округляем до четырёх знаков: \[ \boxed{2.1410} \]