Заданы вершины треугольника ABC, где A имеет координаты (1;5), B (-3;0), C (-6;1) Найти 1) Уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины A 2) Уравнение средней линии EF, параллельной основанию BC 3) Длину высоты, проведенной из вершины A 4) Площадь

Давайте решим поставленные задачи поэтапно.

1) Уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины A

Медиана из вершины A:

Сначала найдем координаты средней точки отрезка BC. Средняя точка M находится по формуле:
\[
M\left(xm, ym\right) = \left(\frac{xB + xC}{2}, \frac{yB...C}{2}\right) \] Подставляем координаты B (-3; 0) и C (-6; 1): \[ x_m = \frac{-3 + (-6)}{2} = \frac{-9}{2} = -4.5 \] \[ y_m = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \] Таким образом, координаты точки M: M(-4.5; 0.5). Теперь найдем уравнение прямой AM. Для этого найдем угловой коэффициент k: \[ k = \frac{yA}{xA} = \frac{0.5 - 5}{-4.5 - 1} = \frac{-4.5}{-5.5} = \frac{4.5}{5.5} = \frac{9}{11} \] Теперь у нас есть угловой коэффициент, и мы можем записать уравнение прямой в виде: \[ y - yA) \] Подставляем A(1; 5): \[ y - 5 = \frac{9}{11}(x - 1) \] Упрощаем: \[ y - 5 = \frac{9}{11}x - \frac{9}{11} \] \[ y = \frac{9}{11}x + \frac{46}{11} \] Для нахождения высоты из точки A, нам нужно найти уравнение прямой, перпендикулярной к BC. Сначала найдем угловой коэффициент прямой BC: \[ kC - yC - x_B} = \frac{1 - 0}{-6 - (-3)} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \] Угловой коэффициент высоты будет равен обратному значению и с противоположным знаком: \[ k_{h} = 3 \] Теперь запишем уравнение высоты: \[ y - 5 = 3(x - 1) \] Упрощаем: \[ y - 5 = 3x - 3 \] \[ y = 3x + 2 \] Средняя линия EF соединяет середины сторон AB и AC. Найдем координаты средней точки отрезка AB и AC. \[ E\left(xE\right) = \left(\frac{xB}{2}, \frac{yB}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{5 + 0}{2}\right) = \left(-1, 2.5\right) \] \[ F\left(xF\right) = \left(\frac{xC}{2}, \frac{yC}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-6)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = \left(-2.5, 3\right) \] Теперь найдем угловой коэффициент EF: \[ kF - yF - x_E} = \frac{3 - 2.5}{-2.5 - (-1)} = \frac{0.5}{-1.5} = -\frac{1}{3} \] Так как EF параллельно BC, уравнение средней линии будет иметь тот же угловой коэффициент. Используем точку E(-1; 2.5): \[ y - 2.5 = -\frac{1}{3}(x + 1) \] Упрощаем: \[ y - 2.5 = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \] \[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{7.5}{3} \] Для нахождения длины высоты, проведенной из A, используем формулу расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой BC: \[ y = -\frac{1}{3}x - 1 \] Приведем его к общему виду: \[ \frac{1}{3}x + y + 1 = 0 \] Теперь используем формулу расстояния от точки A(1; 5) до прямой: \[ d = \frac{|Ax0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где A = \frac{1}{3}, B = 1, C = 1, \(x0 = 5\): \[ d = \frac{\left|\frac{1}{3} \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 1\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2}} = \frac{\left|\frac{1}{3} + 5 + 1\right|}{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}} = \frac{\left|\frac{1}{3} + 6\right|}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{\left|\frac{19}{3}\right|}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{19}{\sqrt{10}} \approx 6.01 \] Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| xB - yB(yA) + xA - y_B) \right| \] Подставляем координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1(0 - 1) + (-3)(1 - 5) + (-6)(5 - 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1(-1) + (-3)(-4) + (-6)(5) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1 + 12 - 30 \right| = \frac{1}{2} \left| -19 \right| = \frac{19}{2} = 9.5 \] 1) Уравнение медианы: \(y = \frac{9}{11}x + \frac{46}{11}\); Уравнение высоты: \(y = 3x + 2\). 2) Уравнение средней линии: \(y = -\frac{1}{3}x + \frac{7.5}{3}\). 3) Длина высоты: \(d \approx 6.01\). 4) Площадь треугольника: \(S = 9.5\).