Для решения задачи, давайте пройдёмся по шагам.
Шаг 1: Определим количество вещества в моль
Дано:
- Масса изотопа = 9 мг = 0,009 г
- Молярная масса = 56 г/моль
Количество вещества (n) в молях можно найти по формуле:
\[ n = \frac{m}{M} \]
где \( m \) — масса, \( M \) — молярная масса.
Подставим значения:
\[ n = \frac{0,009 \, \text{г}}{56 \, \text{г/моль}} = 0,0001607142857 \, \text{моль} \]
Шаг 2: ...
Используя постоянную Авогадро \( N_A = 6 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1} \), найдем количество атомов (N):
\[ N = n \cdot N_A \]
\[ N = 0,0001607142857 \, \text{моль} \cdot 6 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1} \approx 9,642857142857 \times 10^{19} \, \text{атомов} \]
Температура калориметра увеличилась на 0,09 К. Количество теплоты (Q), полученное калориметром, можно найти по формуле:
\[ Q = C \cdot \Delta T \]
где \( C \) — теплоёмкость, \( \Delta T \) — изменение температуры.
Подставим значения:
\[ Q = 90 \, \text{Дж/К} \cdot 0,09 \, \text{К} = 8,1 \, \text{Дж} \]
Энергия, выделяемая при распаде одного ядра, равна \( E = 3 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \).
Общее количество энергии, выделившейся при распаде всех атомов:
\[ Q = N \cdot E \]
\[ 8,1 \, \text{Дж} = N \cdot 3 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \]
Теперь найдём количество распавшихся атомов (N):
\[ N = \frac{8,1 \, \text{Дж}}{3 \times 10^{-19} \, \text{Дж}} \approx 2,7 \times 10^{20} \, \text{атомов} \]
Период полураспада (T) можно найти, используя формулу:
\[ N = N_0 \cdot (1/2)^{t/T} \]
где \( N_0 \) — начальное количество атомов, \( t \) — время распада.
Перепишем формулу:
\[ \frac{N}{N_0} = (1/2)^{t/T} \]
Подставим известные значения:
- \( N_0 \approx 9,64 \times 10^{19} \)
- \( N \approx 2,7 \times 10^{20} \)
- \( t = 49 \, \text{мин} = 2940 \, \text{с} \)
Теперь подставим в формулу:
\[ \frac{2,7 \times 10^{20}}{9,64 \times 10^{19}} = (1/2)^{2940/T} \]
Вычислим:
\[ \frac{2,7}{9,64} \approx 0,28 \]
Теперь решим уравнение:
\[ 0,28 = (1/2)^{2940/T} \]
Логарифмируем обе стороны:
\[ \log(0,28) = \frac{2940}{T} \cdot \log(1/2) \]
Теперь выразим T:
\[ T = \frac{2940 \cdot \log(1/2)}{\log(0,28)} \]
Вычислим логарифмы:
- \( \log(1/2) \approx -0,3010 \)
- \( \log(0,28) \approx -0,5539 \)
Теперь подставим:
\[ T = \frac{2940 \cdot (-0,3010)}{-0,5539} \approx 1594,5 \, \text{с} \]
Округляем до целых:
\[ T \approx 1595 \, \text{с} \]
Период полураспада вещества составляет примерно 1595 секунд.
