2. Найти мощность внутренних источников теплоты и температуру на поверхности тепловыделяющего элемента ядерного реактора, если диаметр твэла 10 мм, температура на его оси 1150 °С, теплопроводность материала твэла 3,5 Вт/(мК). Твэл охлаждается в среде,

Для решения задачи о нахождении мощности внутренних источников теплоты и температуры на поверхности тепловыделяющего элемента (твэла) ядерного реактора, воспользуемся уравнением теплопроводности и уравнением для теплоотда...

Диаметр твэла равен 10 мм, следовательно, радиус \( r_1 \) (внутренний радиус) равен: \[ r_1 = \frac{10 \, \text{мм}}{2} = 5 \, \text{мм} = 0.005 \, \text{м} \] Температура на оси твэла \( T2 = 430 \, °C \). Коэффициент теплоотдачи \( h = 30 \times 10^3 \, \text{Вт/(м}^2 \text{К)} \). Теплопроводность материала твэла \( \lambda = 3.5 \, \text{Вт/(мК)} \). Для определения температуры на поверхности твэла \( T_s \) используем уравнение теплопроводности в стационарном режиме: \[ \frac{dT}{dr} = -\frac{q}{\lambda} \] где \( q \) - мощность, передаваемая через единицу длины твэла. Сначала найдем мощность, используя закон Фурье: \[ q = -\lambda \cdot \frac{dT}{dr} \] Принимаем, что температура меняется линейно от центра к поверхности. Тогда: \[ \Delta T = T2 = 1150 - 430 = 720 \, °C \] Поскольку радиус \( r_1 = 0.005 \, \text{м} \), мы можем записать: \[ \frac{dT}{dr} = \frac{Ts}{r_1} \] где \( T_s \) - температура на поверхности твэла. С учетом теплоотдачи на поверхности: \[ q = h \cdot (T2) \] Подставим \( q \) из уравнения теплопроводности в уравнение теплоотдачи: \[ -\lambda \cdot \frac{Ts}{rs - T_2) \] Подставим известные значения: \[ -3.5 \cdot \frac{1150 - Ts - 430) \] Умножим обе стороны на \( 0.005 \): \[ -3.5 \cdot (1150 - Ts - 430) \] Раскроем скобки: \[ -4025 + 3.5Ts - 64500 \] Соберем все \( T_s \) в одну сторону: \[ 64500 - 4025 = 150Ts \] \[ 60475 = 146.5T_s \] \[ T_s = \frac{60475}{146.5} \approx 412.5 \, °C \] Теперь подставим \( T_s \) обратно в уравнение для мощности: \[ q = h \cdot (T2) = 30 \times 10^3 \cdot (412.5 - 430) = 30 \times 10^3 \cdot (-17.5) \approx -525000 \, \text{Вт/м} \] Таким образом, мощность внутренних источников теплоты составляет примерно \( 525000 \, \text{Вт/м} \), а температура на поверхности твэла составляет примерно \( 412.5 \, °C \).