Consider the set family . What can be said about the set : is it closed, open, bounded, compact? What is the boundary and the closure of the set ?

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Анализ хозяйственной деятельности
Автор: Кэмп

#Экономический анализ финансово-хозяйственной деятельности
#Методы анализа хозяйственной деятельности

Consider the set family . What can be said about the set : is it closed, open, bounded, compact? What is the boundary and the closure of the set ?

Условие:

Consider the set family $A_{n}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid\left(x^2)\left(n\right)=1\right)\right\}$ . What can be said about the set $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}$ : is it closed, open, bounded, compact? What is the boundary and the closure of the set $A$ ?

Решение:

Рассмотрим семейство множеств Aₙ = { x ∈ ℝ | x^(2n) = 1 } для n ∈ ℕ.

Шаг 1. Найдём Aₙ

Для произвольного натурального n уравнение x^(2n) = 1 решается следующим образом. Заметим, что для любого натурального n чётная степень любого числа дает неотрицательное значение. Кроме того, если x = 1, то 1^(2n) = 1, а если x = –1, то (–1)^(2n) = 1 (так как 2n — чётное число). Других вещественных решений у этого уравнения нет, поскольку x^(2n) > 1 для |x| > 1 и x^(2n) < 1 для |x| < 1 (если x ≠ ±1). Таким образом, для любого n получаем Aₙ = { –1, 1 }.<b...