Дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы. Решите это дифференциальное уравнение, постройте график у(t). Начальные условия считайте нулевыми. Запишите передаточную функцию данной динамической системы. Най-дите КЧХ, АЧХ и ФУХ, постройте

Для решения данного дифференциального уравнения линейной динамической системы, начне...

Сначала преобразуем уравнение в стандартную форму:

$$y + \frac{1}{5}y = 6x$$

Теперь подставим $x(t) = t$:

$$y + \frac{1}{5}y = 6t$$

Это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель $\mu(t)$ будет:

$$\mu(t) = e^{\int \frac{1}{5} dt} = e^{\frac{t}{5}}$$

Умножаем уравнение на интегрирующий множитель:

$$e^{\frac{t}{5}}y + \frac{1}{5}e^{\frac{t}{5}}y = 6te^{\frac{t}{5}}$$

Теперь левая часть уравнения является производной:

$$\frac{d}{dt}(e^{\frac{t}{5}}y) = 6te^{\frac{t}{5}}$$

Интегрируем обе стороны:

$$e^{\frac{t}{5}}y = \int 6te^{\frac{t}{5}} dt$$

Для интегрирования правой части используем интеграцию по частям. Обозначим:

• $u = t$ и $dv = 6e^{\frac{t}{5}} dt$
• Тогда $du = dt$ и $v = 30e^{\frac{t}{5}}$

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

Получаем:

$$\int 6te^{\frac{t}{5}} dt = 30te^{\frac{t}{5}} - \int 30e^{\frac{t}{5}} dt$$

Второй интеграл равен:

$$30 \cdot 5e^{\frac{t}{5}} = 150e^{\frac{t}{5}}$$

Таким образом, получаем:

$$\int 6te^{\frac{t}{5}} dt = 30te^{\frac{t}{5}} - 150e^{\frac{t}{5}} + C$$

Теперь подставим обратно:

$$e^{\frac{t}{5}}y = 30te^{\frac{t}{5}} - 150e^{\frac{t}{5}} + C$$

Умножаем на $e^{-\frac{t}{5}}$:

$$y = 30t - 150 + Ce^{-\frac{t}{5}}$$

С учетом начальных условий $y(0) = 0$:

$$0 = 30 \cdot 0 - 150 + C$$

$$C = 150$$

Таким образом, окончательное решение:

$$y(t) = 30t - 150 + 150e^{-\frac{t}{5}}$$

Для нахождения передаточной функции, преобразуем уравнение в частотную область с помощью преобразования Лапласа:

$$5sY(s) + Y(s) = 30X(s)$$

где $X(s) = \frac{1}{s^2}$ (поскольку $x(t) = t$).

Таким образом, получаем:

$$(5s + 1)Y(s) = 30 \cdot \frac{1}{s^2}$$

Следовательно, передаточная функция:

$$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{30}{s^2(5s + 1)}$$

КЧХ (квадратурная частотная характеристика) и АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) можно получить, подставив $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{30}{(j\omega)^2(5j\omega + 1)}$$

АЧХ:

$$|G(j\omega)| = \frac{30}{\sqrt{(\omega^2)(1 + 25\omega^2)}}$$

ФУХ:

$$\angle G(j\omega) = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{5}\right) - 90^\circ$$

1. : Это будет экспоненциальная функция, которая будет стремиться к линейной функции $30t - 150$ с увеличением времени.
2. : Будет показывать, как амплитуда выходного сигнала изменяется в зависимости от частоты.
3. : Покажет фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного.

Теперь вы можете задать вопросы по тексту.