найдите комплексную передаточную функцию цепи указанного вида; запишите выражения для АЧХ и ФЧХ цепи; постройте качественные графики АЧХ и ФЧХ цепи по их значениям при ω = 0 и ω → ∞; рассчитайте значение граничной частоты ωгр и покажите на графике АЧХ

Для решения задачи, давайте сначала определим, что такое комплексная передаточная функция и как она связана с АЧХ (амплитудно-частотной...

Предположим, что у нас есть цепь, состоящая из резистора (R), конденсатора (C) и индуктивности (L). Комплексная передаточная функция \( H(s) \) может быть записана как: \[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \] где \( Y(s) \) — выходной сигнал, а \( X(s) \) — входной сигнал. В зависимости от конфигурации цепи (например, последовательное или параллельное соединение элементов) форма функции будет различаться. Для простоты, рассмотрим последовательный RLC-цепь: \[ H(s) = \frac{1}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}} \] где \( s = j\omega \) (j — мнимая единица, ω — угловая частота). АЧХ и ФЧХ можно получить из комплексной передаточной функции. Подставим \( s = j\omega \): \[ H(j\omega) = \frac{1}{(j\omega)^2 + \frac{R}{L}(j\omega) + \frac{1}{LC}} \] Теперь найдем модуль и аргумент: 1. (амплитудно-частотная характеристика): \[ |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left(-\omega^2 + \frac{1}{LC}\right)^2 + \left(\frac{R}{L}\omega\right)^2}} \] 2. (фазово-частотная характеристика): \[ \angle H(j\omega) = -\arctan\left(\frac{\frac{R}{L}\omega}{-\omega^2 + \frac{1}{LC}}\right) \] Теперь мы можем построить графики АЧХ и ФЧХ. Для этого нужно рассмотреть значения при \( \omega = 0 \) и \( \omega \to \infty \): - При \( \omega = 0 \): - \( |H(0)| = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{LC}}} = \sqrt{LC} \) - \( \angle H(0) = 0 \) - При \( \omega \to \infty \): - \( |H(\infty)| = 0 \) - \( \angle H(\infty) = -\frac{\pi}{2} \) Граничная частота \( \omega_{гр} \) определяется как частота, при которой АЧХ падает на 3 дБ от максимального значения. Для RLC-цепи: \[ \omega_{гр} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] На графиках АЧХ и ФЧХ: - АЧХ будет начинаться от значения \( \sqrt{LC} \) при \( \omega = 0 \) и будет стремиться к 0 при \( \omega \to \infty \). - ФЧХ будет начинаться от 0 и будет стремиться к -90° при \( \omega \to \infty \). Полоса пропускания определяется как диапазон частот, в котором АЧХ остается выше -3 дБ от максимального значения. На графике АЧХ можно отметить эту полосу, используя значение \( \omega_{гр} \). Таким образом, мы нашли комплексную передаточную функцию, выразили АЧХ и ФЧХ, рассчитали граничную частоту и описали, как построить графики.