Практическая часть. 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z по данной системе ограничений. egin{array}{c} Z=x{1}-2 x{2} → max \ ≤ft{egin{array}{l} 5 x{1}+x{2} ≥ 1 \ -3 x{1}+x{2} ≤ 3 \ 3 x{1}+3 x{2} ≤ 2 end{array} ight. \ x{1}, x{2} ≥ 0

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( Z = x1 - 2x2 \) при заданных ограничениях, мы будем использовать метод линейного программирования.

Шаг 1: Записать ограничения

У нас есть следующие ограничения:
1. \( 5x1 + x2 \geq 1 \)
2. \( -3x1 + x2 \leq 3 \)
3. \( 3x1 + 3x2 \leq 2 \)
4. \( x1, x2 \geq 0 \)

Шаг 2: Пре...

Приведем все ограничения к стандартному виду (все в виде неравенств с \( \leq \)): 1. \( 5x2 \geq 1 \) можно записать как \( -5x2 \leq -1 \) 2. \( -3x2 \leq 3 \) остается без изменений. 3. \( 3x2 \leq 2 \) можно упростить до \( x2 \leq \frac{2}{3} \) Теперь у нас есть система ограничений: \[ \begin{array}{l} -5x2 \leq -1 \\ -3x2 \leq 3 \\ x2 \leq \frac{2}{3} \\ x2 \geq 0 \end{array} \] Теперь найдем точки пересечения ограничений, чтобы определить область допустимых решений. 1. Пересечение \( -5x2 = -1 \) и \( -3x2 = 3 \): \[ -5x1 + 3) = -1 \implies -5x1 = 2 \implies -2x1 = -1 \quad (\text{не подходит, так как } x_1 \geq 0) \] 2. Пересечение \( -5x2 = -1 \) и \( x2 = \frac{2}{3} \): \[ -5x1\right) = -1 \implies -5x1 = -1 \implies -4x1 = \frac{1}{12} \] Подставим \( x1 + x_2 = \frac{2}{3} \): \[ \frac{1}{12} + x2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \] Точка: \( \left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right) \) 3. Пересечение \( -3x2 = 3 \) и \( x2 = \frac{2}{3} \): \[ -3x1\right) = 3 \implies -3x1 = 3 \implies -4x1 = \frac{7}{3} \implies x_1 = -\frac{7}{12} \quad (\text{не подходит}) \] 4. Пересечение \( -3x2 = 3 \) и \( -5x2 = -1 \): \[ -3x1 + 1) = 3 \implies -8x1 = 2 \implies x_1 = -\frac{1}{4} \quad (\text{не подходит}) \] Теперь проверим границы области допустимых решений. Мы знаем, что \( x2 \geq 0 \). Теперь подставим найденные точки в функцию \( Z \): 1. Точка \( \left(0, 0\right) \): \[ Z(0, 0) = 0 - 2 \cdot 0 = 0 \] 2. Точка \( \left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right) \): \[ Z\left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right) = \frac{1}{12} - 2 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1}{12} - \frac{14}{12} = -\frac{13}{12} \] Наибольшее значение \( Z \) равно \( 0 \) в точке \( (0, 0) \), а наименьшее значение \( Z \) равно \( -\frac{13}{12} \) в точке \( \left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right) \). Наибольшее значение функции \( Z \) равно \( 0 \), наименьшее значение функции \( Z \) равно \( -\frac{13}{12} \).