Практическая часть. 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z по данной системе ограничений. egin{array}{c} Z=x{1}-2 x{2} → max \ ≤ft{egin{array}{l} 5 x{1}+x{2} ≥ 1 \ -3 x{1}+x{2} ≤ 3 \ 3 x{1}+3 x{2} ≤ 2 end{array} ight. \ x{1}, x{2} ≥ 0

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $Z = x1 - 2x2$ при заданных ограничениях, мы будем использовать метод линейного программирования.

Шаг 1: Записать ограничения

У нас есть следующие ограничения:
1. $5x1 + x2 \geq 1$
2. $-3x1 + x2 \leq 3$
3. $3x1 + 3x2 \leq 2$
4. $x1, x2 \geq 0$

Шаг 2: Пре...

Приведем все ограничения к стандартному виду (все в виде неравенств с $\leq$): 1. $5x2 \geq 1$ можно записать как $-5x2 \leq -1$ 2. $-3x2 \leq 3$ остается без изменений. 3. $3x2 \leq 2$ можно упростить до $x2 \leq \frac{2}{3}$

Теперь у нас есть система ограничений:

$$\begin{array}{l} -5x2 \leq -1 \\ -3x2 \leq 3 \\ x2 \leq \frac{2}{3} \\ x2 \geq 0 \end{array}$$

Теперь найдем точки пересечения ограничений, чтобы определить область допустимых решений.

1. Пересечение $-5x2 = -1$ и $-3x2 = 3$:

   $$-5x1 + 3) = -1 \implies -5x1 = 2 \implies -2x1 = -1 \quad (\text{не подходит, так как } x_1 \geq 0)$$

2. Пересечение $-5x2 = -1$ и $x2 = \frac{2}{3}$:

   -5x1\right) = -1 \implies -5x1 = -1 \implies -4x1 = \frac{1}{12}
   Подставим $x1 + x_2 = \frac{2}{3}$:
   $$\frac{1}{12} + x2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$$
   Точка: $\left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right)$

3. Пересечение $-3x2 = 3$ и $x2 = \frac{2}{3}$:

   -3x1\right) = 3 \implies -3x1 = 3 \implies -4x1 = \frac{7}{3} \implies x_1 = -\frac{7}{12} \quad (\text{не подходит})

4. Пересечение $-3x2 = 3$ и $-5x2 = -1$:

   $$-3x1 + 1) = 3 \implies -8x1 = 2 \implies x_1 = -\frac{1}{4} \quad (\text{не подходит})$$

Теперь проверим границы области допустимых решений. Мы знаем, что $x2 \geq 0$.

Теперь подставим найденные точки в функцию $Z$:

1. Точка $\left(0, 0\right)$:
   $$Z(0, 0) = 0 - 2 \cdot 0 = 0$$
2. Точка $\left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right)$:
   $$Z\left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right) = \frac{1}{12} - 2 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1}{12} - \frac{14}{12} = -\frac{13}{12}$$

Наибольшее значение $Z$ равно $0$ в точке $(0, 0)$, а наименьшее значение $Z$ равно $-\frac{13}{12}$ в точке $\left(\frac{1}{12}, \frac{7}{12}\right)$.

Наибольшее значение функции $Z$ равно $0$, наименьшее значение функции $Z$ равно $-\frac{13}{12}$.