No5. Составить задачу, двойственную к данной [ egin{array}{l} Z(X)=x{1}-x{2}-2 x{3}+3 x{4} ightarrow ext { min }, \ left{egin{array}{c} 3 x{1}+2 x{2}+x{3}+x{4}=7, leftlvert, egin{array}{l} y_{1} \ 4 x{1}+3 x{2}+2 x{3}+x{4}=10, \ y_{2} end{array} ight.

Чтобы составить двойственную задачу к данной, сначала нужно определить, какие элементы будут в двойственной задаче. Исходная задача имеет вид:

\begin{array}{l} Z(X)=x{1}-x{2}-2 x{3}+3 x{4} \rightarrow \text { min }, \\ \left\{\begin{ar...</p> В данной задаче у нас есть 4 переменные \(x2, x4\) и 2 ограничения. В двойственной задаче мы будем иметь 2 переменные \(y2\) (по количеству ограничений в прямой задаче). Целевая функция двойственной задачи будет максимизировать правые части ограничений исходной задачи. Таким образом, целевая функция будет выглядеть следующим образом:

Z(Y) = 7y2 \rightarrow \text{ max } $

Теперь мы должны составить ограничения для двойственной задачи. Коэффициенты при переменных (x2, x4) в целевой функции исходной задачи станут правыми частями ограничений двойственной задачи. Мы получаем:

1. Для (x1 + 4y_2 \leq 1)
2. Для (x1 + 3y_2 \leq -1)
3. Для (x1 + 2y_2 \leq -2)
4. Для (x1 + y_2 \leq 3)

Так как в исходной задаче переменные (x1) и (y_2) также должны быть неотрицательными:

$$y2 \geq 0$$

Таким образом, двойственная задача будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{l} Z(Y) = 7y2 \rightarrow \text{ max }, \\ \left\{\begin{array}{l} 3y2 \leq 1, \\ 2y2 \leq -1, \\ y2 \leq -2, \\ y2 \leq 3, \\ y_1 \geq 0, \\ y_2 \geq 0. \end{array}\right. \end{array}$$

Это и есть двойственная задача к данной.