Задача 1 Пусть по данным бюджетного обследования случайно выбранных семей изучалась зависимость накопления у от дохода х,, расходов на питание х2 и стоимости имущества х. Исходные данные (y.e.): X1 40 55 45 30 30 60 50 x2 10 15 12 8 10 20 15 X3 60 40 40

Для решения данной задачи мы будем использовать методы линейной регрессии. Давайте пройдемся по каждому пункту шаг за шагом.

Шаг 1: Оценка коэффициентов линейной ...

У нас есть три независимых переменных: доход (X2) и стоимость имущества (X_3). Мы будем использовать метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов линейной регрессии.

Общее уравнение линейной регрессии имеет вид:

$$Y = \beta1 X2 X3 X_3$$

Где:

• (Y) — зависимая переменная (накопления)
• (\beta_0) — свободный член
• (\beta2, \beta1, X3)

Для нахождения коэффициентов мы можем использовать формулы для множественной линейной регрессии. Однако, для упрощения, мы можем использовать статистические пакеты (например, Python, R, Excel и т.д.), чтобы получить эти коэффициенты.

Для оценки значимости коэффициентов мы можем использовать t-критерий. Для каждого коэффициента (\beta_i) мы можем рассчитать t-статистику:

ti}}{SE(\hat{\beta_i})}

Где (SE(\hat{\beta_i})) — стандартная ошибка коэффициента. Если t-статистика больше критического значения из таблицы t-распределения, то коэффициент считается значимым.

Коэффициент детерминации (R^2) показывает, какая доля вариации зависимой переменной объясняется независимыми переменными. Он рассчитывается по формуле:

R^2 = 1 - \frac{SS{tot}}

Где:

• (SS_{res}) — сумма квадратов остатков
• (SS_{tot}) — общая сумма квадратов

Скорректированный (R^2) учитывает количество независимых переменных и рассчитывается по формуле:

$$R^2_{adj} = 1 - \left(1 - R^2\right) \frac{n - 1}{n - k - 1}$$

Где (n) — количество наблюдений, (k) — количество независимых переменных.

F-критерий используется для проверки значимости всей модели. Он рассчитывается по формуле:

F = \frac{MS{res}}

Где:

• (MS_{reg}) — средняя квадратичная ошибка регрессии
• (MS_{res}) — средняя квадратичная ошибка остатков

Если рассчитанное значение F больше критического значения из таблицы F-распределения, то модель считается значимой.

Наиболее значимые факторы можно определить по значимости их коэффициентов (пункт 2). Также можно использовать стандартные ошибки и t-статистики для сравнения. Факторы с наибольшими t-статистиками будут наиболее значимыми.

Для выполнения всех расчетов, включая оценку коэффициентов, t-статистик, (R^2), F-критерий и выявление значимых факторов, рекомендуется использовать статистическое программное обеспечение. Если у вас есть доступ к таким инструментам, вы сможете быстро и точно получить все необходимые значения.