По территориям региона приводятся данные за 1990 г. (см. таблицу своего варианта). Требуется: 1. Построить линейное уравнение парной регрессии у отх. 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации 3. Оценить

Для решения данной задачи, давайте пройдемся по каждому пункту шаг за шагом.

Шаг 1: Построить линейное уравнение парной регрессии $y$ от $x$

Линейное уравнение регрессии имеет вид:
$ y = a + b \cdot x $
где $b$ — коэффициент наклона, а $a$ — свободный член.

1.1. Рассчитаем необходимые суммы:

- $n$ — количество наблюдений.
- $\sum x$ — сумма значений $x$.
- $\sum y$ — сумма значений $y$.
- $\sum xy$ — сумма произведений $x$ и $y$.
- $\sum x^2$ — сумма квадратов $x$.

Данные:
1. $x1 = 154, y1 = 207$
2. $x2 = 122, y2 = 177$
3. $x3...3 = 185$ 4. $x4 = 193$ 5. $x5 = 189$ 6. $x6 = 204$ 7. $x7 = 178$ 8. $x8 = 179$

Теперь вычислим суммы:

$$\begin{align*} \sum x = 154 + 122 + 126 + 157 + 137 + 148 + 137 + 121 = 1,001 \\ \sum y = 207 + 177 + 185 + 193 + 189 + 204 + 178 + 179 = 1,412 \\ \sum xy = 154 \cdot 207 + 122 \cdot 177 + 126 \cdot 185 + 157 \cdot 193 + 137 \cdot 189 + 148 \cdot 204 + 137 \cdot 178 + 121 \cdot 179 = 1,851,973 \\ \sum x^2 = 154^2 + 122^2 + 126^2 + 157^2 + 137^2 + 148^2 + 137^2 + 121^2 = 137,197 \end{align*}$$

Формулы для расчета коэффициентов:

$$b = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2}$$

$$a = \frac{\sum y - b \sum x}{n}$$

Подставим значения:

$$n = 8$$

$$b = \frac{8 \cdot 1,851,973 - 1,001 \cdot 1,412}{8 \cdot 137,197 - (1,001)^2}$$

$$b = \frac{14,815,784 - 1,415,412}{1,097,576 - 1,002,001} = \frac{13,400,372}{95,575} \approx 140.0$$

$$a = \frac{1,412 - 140.0 \cdot 1,001}{8} \approx \frac{1,412 - 140,140}{8} \approx -17,853$$

Таким образом, уравнение регрессии:

$$y = -17.853 + 140.0 \cdot x$$

Коэффициент корреляции $r$ рассчитывается по формуле:

$$r = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 - (\sum x)^2)(n \sum y^2 - (\sum y)^2)}}$$

Сначала найдем $\sum y^2$:

$$\sum y^2 = 207^2 + 177^2 + 185^2 + 193^2 + 189^2 + 204^2 + 178^2 + 179^2 = 251,045$$

Теперь подставим значения в формулу для $r$:

$$r = \frac{8 \cdot 1,851,973 - 1,001 \cdot 1,412}{\sqrt{(8 \cdot 137,197 - (1,001)^2)(8 \cdot 251,045 - (1,412)^2)}}$$

$$r = \frac{14,815,784 - 1,415,412}{\sqrt{(1,097,576 - 1,002,001)(2,008,360 - 1,996,944)}} = \frac{13,400,372}{\sqrt{95,575 \cdot 11,416}} \approx 0.98$$

Средняя ошибка аппроксимации $S_y$:

Si - \hat{y_i})^2}{n-2}}

где $\hat{y_i}$ — предсказанные значения.

Для оценки значимости используем F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента.

$$F = \frac{MS{res}} = \frac{SS{reg}}{SS{res}}$$

$$t = \frac{b}{SE_b}$$

где $SE_b$ — стандартная ошибка коэффициента.

Средний уровень $x$:

$$\bar{x} = \frac{1,001}{8} \approx 125.125$$

Прогнозируемое значение:

$$x_{прогноз} = 1.1 \cdot 125.125 \approx 137.6375$$

Подставляем в уравнение регрессии:

$$y_{прогноз} = -17.853 + 140.0 \cdot 137.6375 \approx 19,000$$

Ошибка прогноза и доверительный интервал рассчитываются на основе стандартной ошибки.

На графике отложим исходные данные и теоретическую прямую регрессии.

Таким образом, мы получили уравнение регрессии, рассчитали коэффициенты корреляции и провели прогнозирование. Для завершения необходимо выполнить расчеты для F-критерия и t-критерия, а также построить график.