2. Решить симплекс-методом egin{array}{l}f(x)=x1-x2 longrightarrow{}max -x1+2x2>=4 3×1+2×2×<=14 x1,x2>=0end{array}

Для решения задачи линейного программирования с помощью симплекс-метода, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Приведение задачи к стандартному виду

У нас есть следующая задача:

\[
\begin{array}{l}
f(x) = x1 - x2 \quad \longrightarrow \max \\
-x1 + 2x2 \geq 4 \\
3x1 + 2x2 \leq 14 \\
x1...2 \geq 0 \end{array} \] Для того чтобы привести неравенства к стандартному виду, добавим вспомогательные переменные. 1. Преобразуем первое неравенство в равенство, добавив вспомогательную переменную \(s_1\): \[ -x2 - s1 \geq 0) \] 2. Преобразуем второе неравенство в равенство, добавив вспомогательную переменную \(s_2\): \[ 3x2 + s2 \geq 0) \] Теперь наша задача выглядит так: \[ \begin{array}{l} f(x) = x2 \quad \longrightarrow \max \\ -x2 - s_1 = 4 \\ 3x2 + s_2 = 14 \\ x2, s2 \geq 0 \end{array} \] Перепишем функцию цели, чтобы выразить её через вспомогательные переменные: \[ f(x) = x2 + 0s2 \quad \longrightarrow \max \] Составим начальную симплекс-таблицу: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline s_1 -1 2 -1 0 4 \\ s_2 3 2 0 1 14 \\ \hline f -1 1 0 0 0 \\ \hline \end{array} \] 1. Находим переменную, которая будет входить в базис. Выбираем переменную с наибольшим отрицательным коэффициентом в строке функции цели. В данном случае это \(x_1\) (коэффициент -1). 2. Теперь определим выходящую переменную, используя правило минимального отношения. Рассчитаем отношение для каждой строки: - Для строки \(s_1\): \( \frac{4}{1} = 4 \) - Для строки \(s_2\): \( \frac{14}{3} \approx 4.67 \) Выходящей переменной будет \(s_1\), так как у неё меньшее отношение. Теперь обновим таблицу, используя метод Гаусса для приведения к новой базисной переменной: 1. Делим строку \(s1\)). 2. Обновляем остальные строки, чтобы сделать коэффициенты в столбце \(x_1\) равными нулю. После выполнения этих операций, получаем новую таблицу: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline x_1 1 -2 1 0 4 \\ s_2 0 8 -3 1 2 \\ \hline f 0 -1 1 0 4 \\ \hline \end{array} \] Теперь снова ищем переменную для входа в базис. Это будет \(x_2\) (коэффициент -1). Снова применяем правило минимального отношения: - Для строки \(x_1\): \( \frac{4}{2} = 2 \) - Для строки \(s_2\): \( \frac{2}{8} = 0.25 \) Выходящей переменной будет \(s_2\). Обновляем таблицу: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline x_1 1 0 1 -0.25 2 \\ x_2 0 1 -0.375 0.125 0.25 \\ \hline f 0 0 0.625 0.25 4.5 \\ \hline \end{array} \] Теперь все коэффициенты в строке функции цели неотрицательны, что означает, что мы достигли оптимального решения. Оптимальное значение функции \(f(x)\) равно 4.5, при этом: - \(x_1 = 2\) - \(x_2 = 0.25\) Таким образом, решение задачи: \[ \begin{array}{l} \text{Максимальное значение } f(x) = 4.5 \\ x2 = 0.25 \end{array} \]