Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице. Уровень фондоотдачи, руб. До 1,4 1,4 – 1,6 1,6 – 1,8 1,8 –

Для решения данной задачи мы будем использовать статистические методы для анализа выборки. Давайте начнем по порядку.

Шаг 1: Подсчет среднего значения и дис...

1. .

Для этого нам нужно найти среднее значение для каждой группы. Мы будем использовать середину интервала для каждой группы.

• Для интервала До 1,4 возьмем 1,2 (приближенно).
• Для интервала 1,4 – 1,6 возьмем 1,5.
• Для интервала 1,6 – 1,8 возьмем 1,7.
• Для интервала 1,8 – 2,0 возьмем 1,9.
• Для интервала 2,0 – 2,2 возьмем 2,1.
• Для интервала 2,2 и выше возьмем 2,5 (приближенно).

Теперь вычислим среднее значение:

$$\bar{x} = \frac{\sum (xi)}{N}$$

где (xi) - количество предприятий в интервале, (N) - общее количество предприятий.

Подсчитаем:

$$\bar{x} = \frac{(1.2 \cdot 13) + (1.5 \cdot 15) + (1.7 \cdot 17) + (1.9 \cdot 15) + (2.1 \cdot 16) + (2.5 \cdot 14)}{90}$$

$$= \frac{(15.6) + (22.5) + (28.9) + (28.5) + (33.6) + (35)}{90}$$

$$= \frac{164.1}{90} \approx 1.8233$$

2. .

Дисперсия рассчитывается по формуле:

$$S^2 = \frac{\sum (ni - \bar{x})^2)}{N - 1}$$

Подсчитаем:

$$S^2 = \frac{(13 \cdot (1.2 - 1.8233)^2) + (15 \cdot (1.5 - 1.8233)^2) + (17 \cdot (1.7 - 1.8233)^2) + (15 \cdot (1.9 - 1.8233)^2) + (16 \cdot (2.1 - 1.8233)^2) + (14 \cdot (2.5 - 1.8233)^2)}{90 - 1}$$

Вычислим каждое из значений:

• Для 1.2: (13 \cdot (1.2 - 1.8233)^2 \approx 13 \cdot 0.3907 \approx 5.0791)
• Для 1.5: (15 \cdot (1.5 - 1.8233)^2 \approx 15 \cdot 0.1044 \approx 1.566)
• Для 1.7: (17 \cdot (1.7 - 1.8233)^2 \approx 17 \cdot 0.0152 \approx 0.2584)
• Для 1.9: (15 \cdot (1.9 - 1.8233)^2 \approx 15 \cdot 0.0058 \approx 0.087)
• Для 2.1: (16 \cdot (2.1 - 1.8233)^2 \approx 16 \cdot 0.0767 \approx 1.2272)
• Для 2.5: (14 \cdot (2.5 - 1.8233)^2 \approx 14 \cdot 0.4572 \approx 6.3968)

Теперь суммируем:

$$S^2 = \frac{5.0791 + 1.566 + 0.2584 + 0.087 + 1.2272 + 6.3968}{89} \approx \frac{14.1145}{89} \approx 0.158$$

Средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле:

$$SE = \frac{S}{\sqrt{N}}$$

где (S) - стандартное отклонение (корень из дисперсии), (N) - размер выборки.

$$SE = \frac{\sqrt{0.158}}{\sqrt{90}} \approx \frac{0.3975}{9.4868} \approx 0.0419$$

Предельная ошибка рассчитывается по формуле:

$$E = z \cdot SE$$

Для уровня доверия 95% (z ≈ 1.96):

$$E = 1.96 \cdot 0.0419 \approx 0.082$$

Для уровня доверия 95,4% (z ≈ 2):

$$E = 2 \cdot 0.0419 \approx 0.084$$

Доверительные границы рассчитываются по формуле:

$$\bar{x} \pm E$$

Где (E) - предельная ошибка.

$$1.8233 \pm 0.082$$

Таким образом, доверительные границы:

$$(1.8233 - 0.082, 1.8233 + 0.082) = (1.7413, 1.9053)$$

1. Среднее значение: 1.8233, Дисперсия: 0.158
2. Средняя ошибка: 0.0419
3. Величина предельной ошибки: 0.082
4. Ошибка выборки с вероятностью 0,954: 0.084
5. Доверительные границы: (1.7413, 1.9053)