1. Прямые l : y = kx + b, l1 : y = k1x + b1 и l2 : y = k2x + b2 касаются гиперболы y = 1 x . Известно, что b = b1 + b2. Докажите, что k ≥ 2(k1 + k2).

24 января 2025
Экономика

Условие:

1. Прямые l : y = kx + b, l₁ : y = k₁x + b₁ и l₂ : y = k₂x + b₂ касаются гиперболы
Известно, что b = b₁ + b₂. Докажите, что k ≥ 2(k₁ + k₂).

2. Дано натуральное число K > 2 и набор из N карточек, на которых написаны положительные числа. Оказалось, что из них можно выбрать несколько карточек (возможно, одну) с суммой чисел K, несколько карточек с суммой чисел K² , . . . , несколько карточек с суммой чисел K^K. Могло ли оказаться, что N < K?

Решение:

1. Условие касания означает, что уравнение то есть kx²+bx1 = 0 (и два аналогичных) имеет единственное решение, а это равносильно равенству нулю дискриминанта: b²+4k = 0. Тогда аналогично Следовательно, k 2(k+k), что верно в силу неравенства равносильного неравенству (b b) 0.