2.6. Коммутируют ли между собой приведенные ниже операторы: а) А = x, В = y; б) А = ∂/∂x, В = y ; в) А = ∂/∂x, В = х; г) А = i∂/∂x

Чтобы определить, коммутируют ли операторы, нужно вычислить их коммутатор. Коммутатор двух операторов $A$ и $B$ определяется как:

$ [...

1. Вычислим $AB$:
   $$AB = xy$$
2. Вычислим $BA$:
   $$BA = yx$$
3. Найдем коммутатор:
   $$[A, B] = xy - yx = 0$$

Операторы $A$ и $B$ коммутируют.

1. Вычислим $AB$:
   $$AB = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0$$
2. Вычислим $BA$:
   $$BA = y \frac{\partial}{\partial x}$$
3. Найдем коммутатор:
   $$[A, B] = 0 - y \frac{\partial}{\partial x} = -y \frac{\partial}{\partial x}$$

Операторы $A$ и $B$ не коммутируют.

1. Вычислим $AB$:
   $$AB = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$
2. Вычислим $BA$:
   $$BA = x \frac{\partial}{\partial x}$$
3. Найдем коммутатор:
   $$[A, B] = 1 - x \frac{\partial}{\partial x}$$

Операторы $A$ и $B$ не коммутируют.

Здесь не указано, с каким оператором мы сравниваем $A$. Предположим, что мы рассматриваем $B = x$.

1. Вычислим $AB$:
   $$AB = i \frac{\partial}{\partial x}(x) = i$$
2. Вычислим $BA$:
   $$BA = x \left(i \frac{\partial}{\partial x}\right) = i x \frac{\partial}{\partial x}$$
3. Найдем коммутатор:
   $$[A, B] = i - i x \frac{\partial}{\partial x}$$

Операторы $A$ и $B$ не коммутируют.

а) Коммутируют.
б) Не коммутируют.
в) Не коммутируют.
г) Не коммутируют (при условии, что $B = x$).