3.11. Какая сила будет действовать на свободный диполь, электрический момент которого равен p, если он расположен на расстоянии l от точечного заряда q (считать плечо диполя значительно меньше l). Реши задачу подробно объяснив и нарисовав рисунок

Для решения задачи о силе, действующей на свободный диполь в электрическом поле, создаваемом точечным зарядо...

Мы имеем электрический диполь, который состоит из двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, разделенных расстоянием (d). Электрический момент диполя обозначается как $\mathbf{p} = q \cdot \mathbf{d}$, где (q) — величина зарядов, а (d) — расстояние между ними. В данной задаче нам дан электрический момент $\mathbf{p}$ и расстояние (l) от точечного заряда (q) до диполя.

Электрическое поле $\mathbf{E}$, создаваемое точечным зарядом (q) на расстоянии (l), можно выразить через закон Кулона:

$$\mathbf{E} = \frac{k \cdot q}{l^2} \hat{\mathbf{r}}$$

где (k) — коэффициент пропорциональности (константа Кулона), а $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор, направленный от заряда (q) к диполю.

Сила, действующая на диполь в электрическом поле, может быть найдена через выражение:

$$\mathbf{F} = \mathbf{p} \cdot \nabla \mathbf{E}$$

где $\nabla \mathbf{E}$ — градиент электрического поля. Поскольку диполь состоит из двух зарядов, мы можем рассмотреть силу, действующую на каждый из зарядов.

Сила, действующая на положительный заряд (+q):

$$\mathbf{F}_+ = q \cdot \mathbf{E} = q \cdot \frac{k \cdot q}{l^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Сила, действующая на отрицательный заряд (-q):

$$\mathbf{F}_- = -q \cdot \mathbf{E} = -q \cdot \frac{k \cdot q}{l^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Разность сил, действующих на положительный и отрицательный заряды, дает результирующую силу, действующую на диполь:

$$\mathbf{F} = \mathbf{F}- = q \cdot \frac{k \cdot q}{l^2} \hat{\mathbf{r}} - \left(-q \cdot \frac{k \cdot q}{l^2} \hat{\mathbf{r}}\right) = \frac{2kq^2}{l^2} \hat{\mathbf{r}}$$

Теперь, используя $\mathbf{p} = q \cdot d$, мы можем выразить силу через электрический момент:

$$\mathbf{F} = \frac{2k \cdot p^2}{l^3} \hat{\mathbf{r}}$$

где (d) считается значительно меньше (l).

Таким образом, сила, действующая на свободный диполь, расположенный на расстоянии (l) от точечного заряда (q), равна:

$$\mathbf{F} = \frac{2k \cdot p^2}{l^3} \hat{\mathbf{r}}$$

На рисунке можно изобразить точечный заряд (q), расположенный на оси, и диполь, состоящий из зарядов (+q) и (-q), находящийся на расстоянии (l) от заряда (q). Направление силы будет указывать вдоль линии, соединяющей заряд (q) и диполь.

!

Таким образом, мы получили ответ на задачу.