Металлический шар радиуса R1, несущий заряд, окружён сферическим слоем диэлектрика имеющего радиус внутренней поверхности R; и наружной поверхности R3 1. Найти зависимости D(r) и E(г), построить их графики. 2. Используя интегральную связь потенциала и

Для решения задачи, давайте рассмотрим каждый пункт по порядку.

1. Найти зависимости D(r) и E(r)

Шаг 1: Определение полей

Сначала определим, что у нас есть металлический шар радиуса $R1$, который ок...2$ и наружным радиусом $R_3$.

• Внутри металлического шара (для $r R_1$):

  • Электрическое поле $E(r) = 0$
  • Вектор смещения $D(r) = 0$

• В области между металлическим шаром и внутренней поверхностью диэлектрика (для $R2$):

  • Здесь также $E(r) = 0$ и $D(r) = 0$.

• В области диэлектрика (для $R3$):

  • Используем закон Гаусса для нахождения $D(r)$:
    $$D(r) = \frac{Q}{4\pi r^2}$$
    где $Q$ — заряд на металлическом шаре.

• В этой области также можем выразить $E(r)$:

  $$E(r) = \frac{D(r)}{\varepsilon} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}$$
  где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость материала.

• В области за пределами диэлектрика (для $r R_3$):

  • Здесь также:
    $$D(r) = \frac{Q}{4\pi r^2}, \quad E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2}$$

• График $D(r)$ будет представлять собой гиперболу, которая убывает с увеличением $r$.

• График $E(r)$ будет аналогично убывать, но с учетом диэлектрической проницаемости.

Напряжение $V(r)$ связано с электрическим полем $E(r)$ следующим образом:

$$V(r) = -\int E(r) \, dr$$

• Для области $R3$:

  $$V(r) = -\int \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2} \, dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r} + C$$
  где $C$ — константа интегрирования, которую можно определить, зная потенциал в какой-либо точке.

• Для области $r R_3$:

  $$V(r) = -\int \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2} \, dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r} + C$$

График $V(r)$ будет также гиперболическим, убывающим с увеличением $r$.

Поляризация $P$ связана с вектором смещения $D$:

$$P = \varepsilon_0 \left( \frac{D}{\varepsilon} - 1 \right)$$

Для области $R3$:

$$P(r) = \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon} - 1 \right)$$

График $P(r)$ будет также убывать с увеличением $r$.

Теперь у нас есть зависимости $D(r)$, $E(r)$, $V(r)$ и $P(r)$, а также описаны их графики.