Найти среднее значение оператора . (3.16) в состоянии (3.15). Замечание: этот оператор описывает зеемановское взаимодействие спина с магнитным полем.

Рассмотрим оператор H, заданный соотношением

  H = – h · σ     (где h – заданный вектор, σ = (σₓ, σᵧ, σ_z)).

Наша задача – найти среднее значение оператора H в состоянии, описываемом матрицей плотности

  ρ = (1/2)[1 + n · σ],

где n – некоторый вещественный вектор.

Шаг 1. Запишем формулу для среднего значения оператора H. Напомним, что среднее значение оператора A в состоянии ρ определяется как
  ⟨A⟩ = Tr(ρ A).

Таким образом, для оператора H получаем
  ⟨H⟩ = Tr{ρ H} = Tr{ (1/2)[1 + n · σ] (– h · σ) } = – (1/2) Tr{ [1 + n · σ](h · σ) }.

Шаг 2. Раскроем произведение в трассе. Заметим, что h · σ = hₓσₓ + hᵧσᵧ + h_...