Найти среднюю за большой период времени кинетическую энергию частицы, движущейся в поле U (r) = V ln (r/a)

Чтобы найти среднюю кинетическую энергию частицы, движущейся в потенциальном поле $U(r) = V \ln \left( \frac{r}{a} \right)$, нам нужно испо...

Кинетическая энергия частицы определяется как:

$$K = \frac{mv^2}{2}$$

где $m$ — масса частицы, а $v$ — её скорость.

Общая энергия $E$ системы будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

$$E = K + U$$

Подставим выражение для потенциальной энергии:

$$E = \frac{mv^2}{2} + V \ln \left( \frac{r}{a} \right)$$

Из закона сохранения энергии можно выразить кинетическую энергию:

$$\frac{mv^2}{2} = E - V \ln \left( \frac{r}{a} \right)$$

Отсюда:

$$v^2 = \frac{2}{m} \left( E - V \ln \left( \frac{r}{a} \right) \right)$$

Чтобы найти среднюю кинетическую энергию за большой период времени, нам нужно усреднить $K$ по всем возможным состояниям системы. Это можно сделать, интегрируя по всем значениям $r$ и деля на объем.

Средняя кинетическая энергия $\langle K \rangle$ будет равна:

$$\langle K \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T K(t) dt$$

где $T$ — период времени.

Подставим выражение для $K$:

$$\langle K \rangle = \frac{1}{T} \int0^T \frac{m}{2} \left( \frac{2}{m} \left( E - V \ln \left( \frac{r}{a} \right) \right) \right) dt$$

Упрощая, получаем:

$$\langle K \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \left( E - V \ln \left( \frac{r}{a} \right) \right) dt$$

При больших периодах времени, если система находится в равновесии, можно считать, что $r$ будет равномерно распределено в пределах некоторого диапазона. Таким образом, среднее значение $\ln \left( \frac{r}{a} \right)$ можно оценить.

В итоге, средняя кинетическая энергия будет зависеть от значения $E$ и среднего значения $\ln \left( \frac{r}{a} \right)$. Для конкретного решения необходимо знать распределение $r$ и значение $E$.

Таким образом, средняя кинетическая энергия частицы в поле $U(r) = V \ln \left( \frac{r}{a} \right)$ может быть выражена как:

$$\langle K \rangle = E - \langle U \rangle$$

где $\langle U \rangle$ — средняя потенциальная энергия, которую можно вычислить, зная распределение $r$.