Условие:
Теоретические сведения содержатся в лекции 1
Пример задачи рассмотрен на практическом занятии 1
Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону
r = At
3
i + Bt
2
j + Ctk, м, где i, j, k – орты осей x, y, z.
Определите в момент времени, равный t, c модули:
1) перемещения;
2) скорости;
3) ускорения.
За половину времени от начала движения найдите для точки:
4) среднюю скорость;
5) среднее ускорение.
При A=1, B=2, C=3, t=3
Решение:
Для решения задачи, давайте последовательно найдем все необходимые величины. Дано уравнение радиус-вектора материальной точки: \[ r(t) = At^3 i + Bt^2 j + Ct k \] Подставим значения \( A...
Перемещение определяется как разность конечного и начального радиус-векторов. Начальное время \( t_0 = 0 \), конечное время \( t = 3 \). : \[ r(0) = 1 \cdot 0^3 i + 2 \cdot 0^2 j + 3 \cdot 0 k = 0 \] : \[ r(3) = 1 \cdot 3^3 i + 2 \cdot 3^2 j + 3 \cdot 3 k = 27i + 18j + 9k \] : \[ \Delta r = r(3) - r(0) = (27i + 18j + 9k) - 0 = 27i + 18j + 9k \] Скорость определяется как производная радиус-вектора по времени: \[ v(t) = \frac{dr(t)}{dt} \] Вычислим производную: \[ v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 i + 2t^2 j + 3t k) = 3t^2 i + 4t j + 3k \] Теперь подставим \( t = 3 \): \[ v(3) = 3 \cdot 3^2 i + 4 \cdot 3 j + 3k = 27i + 12j + 3k \] Ускорение определяется как производная скорости по времени: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Вычислим производную: \[ a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 i + 4t j + 3k) = 6t i + 4j + 0k \] Теперь подставим \( t = 3 \): \[ a(3) = 6 \cdot 3 i + 4j + 0k = 18i + 4j \] Половина времени от начала движения: \[ t_{ср} = \frac{3}{2} = 1.5 \] : \[ r(0) = 0 \] : \[ r(1.5) = (1.5)^3 i + 2(1.5)^2 j + 3(1.5) k = 3.375i + 4.5j + 4.5k \] : \[ v_{ср} = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{r(1.5) - r(0)}{1.5 - 0} = \frac{(3.375i + 4.5j + 4.5k) - 0}{1.5} = \frac{3.375}{1.5}i + \frac{4.5}{1.5}j + \frac{4.5}{1.5}k \] \[ v_{ср} = 2.25i + 3j + 3k \] : \[ a_{ср} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \] Где \( \Delta v = v(1.5) - v(0) \). : \[ v(0) = 0 \] : \[ v(1.5) = 3(1.5)^2 i + 4(1.5) j + 3k = 6.75i + 6j + 3k \] Теперь найдем \( \Delta v \): \[ \Delta v = (6.75i + 6j + 3k) - 0 = 6.75i + 6j + 3k \] Теперь подставим в формулу для среднего ускорения: \[ a_{ср} = \frac{(6.75i + 6j + 3k)}{1.5} = \frac{6.75}{1.5}i + \frac{6}{1.5}j + \frac{3}{1.5}k \] \[ a_{ср} = 4.5i + 4j + 2k \] 1) Перемещение: \( 27i + 18j + 9k \) 2) Скорость: \( 27i + 12j + 3k \) 3) Ускорение: \( 18i + 4j \) 4) Средняя скорость: \( 2.25i + 3j + 3k \) 5) Среднее ускорение: \( 4.5i + 4j + 2k \)