В большом сосуде, наполненном идеальным газом при нормальных условиях, выделен объем δv 1 мм3. С какой вероятностью концентрация молекул в этом объеме на α=2% больше средней концентрации молекул в сосуде? При нормальных условиях в 1 м3 находится NL=

Для решения задачи нам нужно рассмотреть распределение молекул газа в сосуде и вероятность того, что в выделенном объеме δv (1 м...

Сначала найдем среднюю концентрацию молекул в сосуде. Из условия задачи известно, что в 1 м³ находится $N_L = 2,68 \times 10^{25}$ молекул. Следовательно, средняя концентрация $C$ молекул в сосуде равна:

$$C = \frac{N_L}{V} = 2,68 \times 10^{25} \text{ молекул/м}^3$$

Объем δv, который мы рассматриваем, равен 1 мм³. Переведем его в м³:

$$\delta v = 1 \text{ мм}^3 = 1 \times 10^{-9} \text{ м}^3$$

Теперь найдем концентрацию, которая на 2% больше средней:

$$C_{больше} = C \times (1 + 0,02) = 2,68 \times 10^{25} \times 1,02 = 2,73 \times 10^{25} \text{ молекул/м}^3$$

Для идеального газа молекулы распределены по всему объему случайным образом. Вероятность того, что в данном объеме δv концентрация будет выше определенного значения, можно оценить с помощью статистики.

Согласно статистической механике, распределение молекул можно описать с помощью нормального распределения. Для малых объемов можно использовать приближение Пуассона. Вероятность того, что в объеме δv будет $k$ молекул, можно выразить через среднее значение $\lambda$:

$$\lambda = C \cdot \delta v = 2,68 \times 10^{25} \cdot 1 \times 10^{-9} = 2,68 \times 10^{16}$$

Теперь, чтобы найти вероятность того, что концентрация в объеме δv будет больше $C_{больше}$, мы можем использовать нормальное распределение. Для этого нам нужно найти среднее и стандартное отклонение.

Стандартное отклонение для распределения Пуассона равно $\sqrt{\lambda}$:

$$\sigma = \sqrt{2,68 \times 10^{16}} \approx 5,18 \times 10^8$$

Теперь мы можем нормализовать значение, чтобы найти Z-значение:

$$Z = \frac{X - \lambda}{\sigma}$$

где $X$ — это количество молекул, соответствующее концентрации $C_{больше}$:

$$X = C_{больше} \cdot \delta v = 2,73 \times 10^{25} \cdot 1 \times 10^{-9} = 2,73 \times 10^{16}$$

Теперь подставим значения:

$$Z = \frac{2,73 \times 10^{16} - 2,68 \times 10^{16}}{5,18 \times 10^8} \approx \frac{0,05 \times 10^{16}}{5,18 \times 10^8} \approx 9,65$$

Теперь мы можем найти вероятность, используя таблицы нормального распределения. Вероятность того, что Z больше 9,65, будет практически равна 0, так как это очень высокое значение Z.

Таким образом, вероятность того, что концентрация молекул в объеме 1 мм³ будет на 2% больше средней концентрации, практически равна 0.