Условие:
10. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 2 и 162 см. Найдите:
a) эту высоту;
6) катеты треугольника;
в) площадь треугольника.
Решение:
Давайте решим задачу шаг за шагом. Дано: - Гипотенуза делится на отрезки 2 см и 162 см. Обозначим: - \( a = 2 \) см (один отрезок гипотенузы), - \( b = 162 \) см (другой отрезок гипотенузы). Сначала найдем длину гипотенузы \( c \): \[ c =...
Ответ: высота \( h = 18 \) см. Обозначим катеты как \( x \) и \( y \). По свойству прямоугольного треугольника: \[ h^2 = \frac{x \cdot y}{c}. \] Также, по свойству прямоугольного треугольника: \[ x^2 + y^2 = c^2. \] Подставим известные значения: \[ x^2 + y^2 = 164^2 = 26896. \] Теперь подставим \( h \): \[ 18^2 = \frac{x \cdot y}{164}. \] Отсюда: \[ 324 = \frac{x \cdot y}{164} \implies x \cdot y = 324 \cdot 164 = 53136. \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 26896 \) 2. \( x \cdot y = 53136 \) Решим эту систему. Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{53136}{x}. \] Подставим это в первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{53136}{x}\right)^2 = 26896. \] Умножим на \( x^2 \) для избавления от дроби: \[ x^4 - 26896x^2 + 53136^2 = 0. \] Обозначим \( z = x^2 \): \[ z^2 - 26896z + 53136^2 = 0. \] Теперь найдем дискриминант: \[ D = 26896^2 - 4 \cdot 53136^2. \] Вычислим: \[ D = 723264256 - 4 \cdot 2824192256 = 723264256 - 11296769024 = -10573506768. \] Так как дискриминант отрицательный, это означает, что мы допустили ошибку в расчетах. Попробуем другой способ. Используем формулы для катетов через высоту и отрезки гипотенузы: \[ x = \frac{h^2}{a} = \frac{18^2}{2} = \frac{324}{2} = 162 \text{ см}, \] \[ y = \frac{h^2}{b} = \frac{18^2}{162} = \frac{324}{162} = 2 \text{ см}. \] Ответ: катеты \( x = 162 \) см и \( y = 2 \) см. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y. \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 162 \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 324 = 162 \text{ см}^2. \] Ответ: площадь \( S = 162 \text{ см}^2 \). Итак, подводя итог: - Высота: \( 18 \) см. - Катеты: \( 162 \) см и \( 2 \) см. - Площадь: \( 162 \text{ см}^2 \).