3. Металлический шар радиуса ³корня из 9 дм переплавлен в цилиндр, боковая поверхность которого в 3 раза больше площади основания. Найдите высоту цилиндра (дм). Потерями металла при переплавке следует пренебречь. Рисунок приложи

Для решения задачи начнем с определения объема металлического шара и объема цилиндра, в который он будет переплавлен.

Шаг 1: Найдем объем шара

Радиус шара $r$ равен $\sqrt[3]{9}$ дм.

Формула объема шара:
$
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3
$

Подставим значение радиуса:
$
V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{9})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9 = 12\pi \text{ дм}^3
$

Шаг 2: Найдем объем...

Объем цилиндра можно выразить через площадь основания и высоту:

$$V{\text{основания}} \cdot h$$

Площадь основания цилиндра $S_{\text{основания}}$ равна $\pi r^2$, где $r$ — радиус основания цилиндра.

Согласно условию, боковая поверхность цилиндра в 3 раза больше площади основания:

$$S{\text{основания}}$$

Формула боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{боковая}} = 2 \pi r h$$

Подставим выражение для площади основания:

$$2 \pi r h = 3 \cdot \pi r^2$$

Сократим на $\pi r$ (при условии, что $r \neq 0$):

$$2h = 3r$$

Отсюда найдем высоту $h$:

$$h = \frac{3r}{2}$$

Теперь подставим значение радиуса $r = \sqrt[3]{9}$:

$$h = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{9}}{2}$$

Вычислим $\sqrt[3]{9}$:

$$\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = 3^{2/3}$$

Теперь подставим это значение в формулу для высоты:

$$h = \frac{3 \cdot 3^{2/3}}{2} = \frac{3^{1 + 2/3}}{2} = \frac{3^{5/3}}{2}$$

Таким образом, высота цилиндра $h$ равна:

$$h = \frac{3^{5/3}}{2} \text{ дм}$$

Для визуализации задачи можно представить следующий рисунок:

Где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.

Ответ: высота цилиндра $h = \frac{3^{5/3}}{2}$ дм.